复变函数复习提纲（一）复数的概念1. 复数的概念：z x iy, x, y 是实数，x Re z , y Im z . i21.注：两个复数不能比拟大小.2. 复数的表示1〕模：|z| （x2 y2 ；2〕幅角：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Arg z〔多值函数〕；主值 arg z中的幅角。z 与 arctan!之间的关系如下:x0, argz arctan^ -x，（二）复数的运算2.乘除法:zzz z ei 1 2 , T --! -12zz223.乘幂与方根是位于（，］3〕argy0,y0, ar尊0, ar尊4〕三角表示：zz cos5〕指数表示：zz eiarcta』x；arcta』x• • 、、 、isin ,其中argz；注：中间一定是“+号。，其中argz。1.加减法：假设 z1iy,zx2龙，2〕假设 z11〕假设 z1iy，z2zz12xx1y1y2i x y21x1yx-4x2iyTiy2iy工iy2x iy—2 2-x iy22xx-^-21-x2 y222y yJ.iixyx-^-1。x2 y222121z z1 2z2ei 2，则ei1,z21)假设 z|Z (cosisin )|z|ei，则 zn |z|n(cosnisinn) |z|nein。2)假设 z|^ (cosisin )|z|ei ,则12k2k握 zncos isin(k 0,1,2...n 1)〔有 n 个相异的值〕nn〔三〕复变函数1. 复变函数：w f z ,在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G的映射.2. 复初等函数1〕指数函数：ez ex cosy isiny ,在 z 平面处处可导，处处解析；且 ezez。注：ez是以 2 i 为周期的周期函数。〔注意与实函数不同〕3)对数函数：Lnz 1 平| i(argz 2k ) (k 0, 1, 2...)〔多值函数〕;主值：lnz 1n|z| iargz。〔单值函数〕Lnz 的每一个主值分支 lnz 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且 lnz |；注：负复数也有对数存在。〔与实函数不同〕3〕乘幂与幂函数：abebLnaG 0) ； zbebLnz(z0)注：在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且 zbbzb1。__eiz e izeiz e iz4〕三角函数：sinz , cosz , tgz2i2sinz, cosz 在 z 平面内解析，且 sinzcosz, cosz sinz注：有界性|sinz| 1,|cosz| 1 不再成立；〔与实函数不同〕ez e z , ez e z4)双曲函数 shz —-—,chz —-—；shz 奇函数，chz 是偶函数。sh 佑 chz 在 z 平面内解析，且 shzchz, chz shz〔四〕解析函数的概念1.复变函数的导数sinzcosz----,ctgz ——cosz sinz1〕点可导：f z =lim 一 z一;0 z 0z2〕区域可导：f z在区域内点点可导。2. 解析函数的概念1〕点解析：f z在 z 及其 z 的邻域...
