一类具免疫控制的 SIR 传染病模型的稳定性信息与计算科学专业 学生：肖宪伟 指导老师：宫兆刚摘 要：利用微分方程理论讨论了具有免疫控制的数学模型，考虑总人口数是常数输入的影响，讨论了模型无病平衡点和地方病平衡点的存在性，利用特征值方法和 Jacobi 矩阵得到了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性。构造 Dulac 函数的方法，得到了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性充分条件，利用 Matlab 软件进行了数值模拟。关键词：免疫控制; Jacobi；Dulac；平衡点；全局稳定性1 引言 面对传染病长期严峻的威胁和日益出现的新的疫情，其严重的危害着人类健康与社会经济的进展。又由于人们不能在人群中进行传染病的试验，因此，对各类传染病的流行趋势、发病规律的预测以及防治策略的重要性日益突出。根据疾病的发生、进展以及与之有关的阐述流行过程的特征，利用动力学的方法来讨论传染病模型是十分重要的，目前对传染病的讨论方法主要有描述性方面的讨论、理论性方面的讨论、分析性方面的讨论和实验性方面的讨论。传染病动力学[1]是对传染病进行理论性定量分析的一种非常重要的方法，通过对动力学性态的定性分析和模拟实验[2]，来显示疾病的进展过程，揭示起流行规律，分析疾病流行的原因和关键因素，预测其变化进展趋势，为预防和控制的最优 策略提供了有力的理论依据。 在早期的传染病动力学中大多数传染病模型都是假设种群的总是常数状态而保持人口数不变，而没有考虑到其它方面的因素，但这种假设仅存在于一些环境状态封闭，人口的生育率和自然死亡率相平衡，且不考虑其它各方面等因素的理想状态下成立。随着传染病模型的不断进展和讨论的不断深化，对各方面因素做了大量的讨论，极大地丰富了传染病动力学理论。程晓云，胡志兴等在2024 年考虑了具有阶段结构因素讨论了一类具有阶段结构的自治传染病模型的稳定性[3]；徐为坚讨论了一类具有种群 Logistic 增长饱和传染率的 SIS 模型的稳定性和 Hopf；杜艳可，徐瑞，段立江在经典的传染病模型上考虑了标准发生率[4-5]的因素，讨论了一类具有标准发生率的传染病模型的全局稳定性；李健全，马知恩讨论了一类带有一般接触率和常数输入的流行病模型的全局分析；付景超等在 2024 年讨论了一类具有垂直传染和连续预防接种的 SIRS 传染病模型[6-8]，得出了垂直传染和连续预防接种的稳定性分析；徐文雄，张仲华等讨论了一类具有预防接种免疫力的双线性传染率 SIR 流行病模...
