第 3 讲 导数的应用(二)【2013 年高考会这样考】1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1．函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时，① 如果在 x0附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f ′( x ) ＜ 0 ，那么 f(x0)是极大值；② 如果在 x0附近的左侧 f ′( x ) ＜ 0 ，右侧 f ′( x ) ＞ 0 ，那么 f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤① 求 f′(x)；② 求方程 f′(x)＝0 的根；③ 检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：① 求 f(x)在(a，b)内的极值；② 将 f(x)的各极值与 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)；(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．两个注意(1) 注意实际问题中函数定义域的确定． (2) 在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值 还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．三个防范1(1) 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外 注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(2) f ′( x 0) ＝ 0 是 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 取极值的既不充分也不必要条件．如 ...
