第 3 讲 二次函数的应用本讲内容包括一元二次方程根的分布问题及二次函数的综合运用
若二次函数的图象与轴有交点，则相应的二次方程有 根 ， 而 且 方 程 的 根 就 是 二 次 函 数的图象在 轴上的截距
应用二次函数图象是解二次方程根的分布问题的重要方法
如由二次函数的图象可 以 直 观 的 得 到 ： 对 于 二 次 函 数， 若，则二次方程在上有一个根
A 类例题 例 1 若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围
（1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根
分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行
代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法
解 1 （1）由题意，得所以，当时，原方程两实根均为正数；（2）由题意，得所以，当时，原方程有一正根一负根
解 2 二次函数的图象是开口向上的抛物线
（1）如图，由题意，得
所以，当时，原方程两实根均为正数；（2）如图，由题意，得
所以，当时，原方程有一正根一负根
评注 解 2（1）中，条件是必要的
若将此条件改为，得到的二次函数的图象与原图象关于轴对称，此时得到的的值是两根均为负数的解
用心 爱心 专心1f(n)f(m)nmxyOOxyOxy 例 2 若方程的根满足下列条件，分别求出实数 的取值范围
（1）方程两实根均大于 1；（2）方程有一根比 1 大，一根比 1 小
分 析 本 题 的 要 求 虽 然 与 例 1 仅 一 字 之 差 ， 由 于 “ 两 实 根 均 大 于 3” 与 “”不等价，因而解法有所变化
思路一，将原问题化归为例 1求解；思路二，运用图象法求解
解 1 设，原方程可化为
（1）由题意，关于 的方程的两根均为正数，得
所以，当时，原方程两实根均大于 1；（2）由题意，关于 的方程的两根为一正根和一负根，得所以，当时，原方程有一根比 1 大，一根比
