第 15 讲 全等形与相似形 全等形和相似形是平面几何的重点内容，全等三角形和相似三角形是其中的主要内容．全等三角形是相似三角形的特殊情形，这两部分知识在中学数学中占有重要地位，同时这两部分知识也是研究几何的基础，它对进一步的学习和对思维能力的培养都是非常重要的．1.全等三角形的判定与性质判定 边角边公理 SAS、角边角公理 ASA、角角边定理 AAS、边边边定理 SSS.若三角形是直角三角形还可以用斜边直角边定理 HL.性质 全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应位置上的线段和角都相等．2.相似三角形的判定与性质判定 ①一个角对应相等，并且夹这个角的两边对应成比例；② 两个角对应相等；③ 三条边对应成比例；④ 两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例．性质 相似三角形的对应角相等；对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比以及周长之比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．3.常用方法论证的过程通常是，由待证明的等式反过来找相应的三角形，然后证明相应的三角形全等或相似．而“相应的三角形”往往不是现成的，需要我们去构造，去作辅助线．在竞赛中，连续证多次全等或相似是常见的．用心 爱心 专心1A 类例题 例 1 如图，点 C 是线段 AB 上一点，ACD 和BCE 是两个等边三角形，点 D、E 在 AB 同旁，AE、BD 分别交 CD、CE 于 G、H.求证:GH∥AB．分析 要证明 GH∥AB，也就是要证明GCH 为等边三角形，即要证明 CG=CH，从而可以通过三角形全等来解决，于是有下面的证法．证明 如图，∠1=∠2=∠3=600，∴∠DCB=∠ACE=1200．又 AC=CD，CE=CB，∴ACE≌DCB．∴∠4=∠5．又 ∠1=∠3，CB=CE，∴CGE≌CHB．∴CG=CH．∴GCH 为等边三角形，∠GHC=∠HCB=600．∴GH∥AB．例 2 在∠A 的两边上分别截取 AB=AC，在 AB 上截取 AE，在AC 上截取 AD，且使 AD=AE.试问:BD 与 CE 的交点 P 是否在∠A 的平分线上?分析 要判断 P 是否在∠A 的平分线上，可以连结 AP，判断∠BAP与∠CAP 是否相等，于是可以通过三角形全等来证明．解 AB=AC，AD=AE，∠A=∠A， ∴ABD≌ACE．∴∠ABP=∠ACP．又 AB=AC，AE=AD，∴BE=CD．又∠BPE=∠CPD，∠ABP=∠ACP，∴BPE≌CPD．∴PE=PD．连结 AP．又 AE=AD，AP=AP，PE=PD，∴AEP≌ADP．∴∠BAP=∠CAP．∴点 P 在∠BAC 的平分线上．说明 ①本题实际上又提供...
