第 20 讲 共点、共线与共圆问题本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法．所谓共点，指 n 条(n≥3)直线经过同一点．或 n 个(n≥3)圆经过同一点; 共线，指的三个及以上的点在同一条直线上; 共圆，指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上．证明中常用到 Menelaus 定理、Ceva 定理、Fermat 点、Simson 线、Euler 线、四点共圆等知识．A 类例题 例 1 设线段 AB 的中点为 C，以 AC 为对角线作平行四边形 AECD、BFCG，又作平行四边形CFHD、CGKE，求证：H、C、K 三点共线．分析 C 为 AB 中点，若 C 为 HK 的中点，则 AKBH 为平行四边形．反之，若平行四边形成立，则 H、C、K 共线．证明 连 AK、DG、BH． AD∥EC∥KG，AD＝EC＝KG，∴ 四边形 AKGD 是平行四边形．∴ AK∥GD，AK＝GD．同理，BH∥GD，BH＝GD，∴ BH∥AK，BH＝AK，∴ 四边形 AKBH 是平行四边形．故 AB、HK 互相平分，即 HK 经过 AB 的中点 C．∴ H、C、K 三点共线．说明 证明具有特殊的性质的几个点共线． 链接 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零；还可以利用 Menelaues 定理及其逆定理证明三点共线等．n(n≥4)点共线可转化为三点共线．例 2 求证：过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线，交于一点．分析 画出图形，是必要的，可以研究一下两条垂线的交点的性质，不难发现证明的方法．证明 若 ABCD 是特殊图形(矩形、等腰梯形)，易知结论成立．如图，设圆内接四边形 ABCD 的对边互不平行．E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点 ，EE'⊥CD，FF'⊥DA，GG'⊥AB，HH'⊥BC，垂足分别为 E'，F'，G'，H'．设 EE'与 GG'交于点 P． E 为 AB 中点，∴ OE⊥AB，∴OE∥EE'．同理，OG∥EE'．∴ OEPG 为平行四边形．∴ OP、EG 互相平分．即 OP 经过 EG 中点 M．同理，设 FF'与 HH'交于 Q，则 OQ 经过 FH 中点 N． E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点，∴ EFGH 是平行四边形，∴EG、FH 互相平分，即 EG 的中点就是 FH的中点于是 M 与 N 重合．∴ OP、OQ 都经过点 M 且 OP＝OQ＝2OM．∴ P、Q 重合，即四条垂线交于一点．说明 本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点． 链接 证明线共点还可用有关定理(如三角形的 3...
