【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第24讲 三角不等式教案

第 24 讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具．A 类例题 例 1 已知、为锐角，且，求证对一切，有分析 要证的不等式两边均为指数式，且指数相同，可考虑利用函数的单调性，因此首先应比较与的大小，而函数的单调性与 α 的符号有关，可分情况讨论．证明 （1）若 x>0，则，则，由正弦函数的单调性，得，即，又 x>0，故有．（ 2 ） 若 x<0 ， 则， 则， 由 正 弦 函 数 的 单 调 性 ， 得，即，又 x<0，故有．说明 比较不同角的正弦与余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函数的单调性比较，而一组的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具．例 2 已知，试比较和的大小．分析 两个式子分别含有与的三角函数，故可考虑都化为的三角函数，注意到两式均为正，可考虑作商来比较．解法一 =， ，所以当，即时，上式有最大值 1，当且时，上式总小于 1．因此，当时，=；当且时，．解法二 设，由得，故，则，用心 爱心 专心1，于是有-=因此，当时，=；当且时，．链接 本题用到以下两组三角公式：（1）半角公式 （2）万能公式：；； 例 3 已知，求证：cos(sinx)>sin(cosx)分析一 从比较两数大小的角度来看，可考虑找一个中间量，比 cos(sinx)小，同时比sin(cosx)大，即可证明原不等式．证法一 （1）当时，显然 cos(sinx)>sin(cosx)成立．（2）当时，，，则 cos(sinx)>0>sin(cosx)．（ 3 ） 当时 ， 有 0cosx；而，则 sin(cosx)cosx >sin(cosx)，从而 cos(sinx)>sin(cosx)． 分析二 cos(sinx)可看作一个角 sinx 的余弦，而 sin(cosx)可看作一个角 cosx 的正弦，因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数，再利用三角函数的单调性来证明．证法二 当时，有 0cos(-cosx)=sin(cosx)，即 cos(sinx)>sin(cosx)．x 在其他区域时，证明同证法 1...