第 24 讲 三角不等式含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式.三角不等式首先是不等式,因此,处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等也是解决三角不等式的常用方法.其次,三角不等式又有自己的特点——含有三角式,因而三角函数的单调性、有界性以及图像特征、三角公式及三角恒等变形的方法等都是处理三角不等式的常用工具.A 类例题 例 1 已知、为锐角,且,求证对一切,有分析 要证的不等式两边均为指数式,且指数相同,可考虑利用函数的单调性,因此首先应比较与的大小,而函数的单调性与 α 的符号有关,可分情况讨论.证明 (1)若 x>0,则,则,由正弦函数的单调性,得,即,又 x>0,故有.( 2 ) 若 x<0 , 则, 则, 由 正 弦 函 数 的 单 调 性 , 得,即,又 x<0,故有.说明 比较不同角的正弦与余弦的大小,可先化同名,再利用正余弦函数的单调性比较,而一组的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具.例 2 已知,试比较和的大小.分析 两个式子分别含有与的三角函数,故可考虑都化为的三角函数,注意到两式均为正,可考虑作商来比较.解法一 =, ,所以当,即时,上式有最大值 1,当且时,上式总小于 1.因此,当时,=;当且时,.解法二 设,由得,故,则,用心 爱心 专心1,于是有-=因此,当时,=;当且时,.链接 本题用到以下两组三角公式:(1)半角公式 (2)万能公式:;; 例 3 已知,求证:cos(sinx)>sin(cosx)分析一 从比较两数大小的角度来看,可考虑找一个中间量,比 cos(sinx)小,同时比sin(cosx)大,即可证明原不等式.证法一 (1)当时,显然 cos(sinx)>sin(cosx)成立.(2)当时,,,则 cos(sinx)>0>sin(cosx).( 3 ) 当时 , 有 0cosx;而,则 sin(cosx)cosx >sin(cosx),从而 cos(sinx)>sin(cosx). 分析二 cos(sinx)可看作一个角 sinx 的余弦,而 sin(cosx)可看作一个角 cosx 的正弦,因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数,再利用三角函数的单调性来证明.证法二 当时,有 0cos(-cosx)=sin(cosx),即 cos(sinx)>sin(cosx).x 在其他区域时,证明同证法 1...