【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第27讲 三角法与向量法解平面几何题教案

第 27 讲 三角法与向量法解平面几何题相关知识在中,R 为外接圆半径,为内切圆半径,,则1,正弦定理:,2,余弦定理:,,.3,射影定理:,,.4,面积: = = .A 类例题 例 1．在 ΔABC 中，已知 b=asinC ,c=asin(900-B)，试判断 ΔABC 的形状。分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。解由条件 c = asin(900 - B) = acosB = . ΔABC 是等腰直角三角形。例 2．（1）在△ABC 中，已知 cosA =，sinB =，则 cosC 的值为（ ）A． B． C． D． 解 C =   (A + B),∴cosC =  cos(A + B),又 A(0, ),∴sinA = ,而 sinB = 显然 sinA > sinB ,∴A > B , A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = ∴cosC =  cos(A + B) = sinAsinB  cosAcosB =.选 A.说明 △ABC 中,sinA > sinB A > B . 根据这一充要条件可判定 B 必为锐角。（2）在 Rt△ABC 中，C＝90°，A＝θ，外接圆半径为 R ，内切圆半径为 r ，当 θ 为 时，的值最小。解答 由题意，R＝，r＝．（其中 a、b、c 为 Rt△ABC 的三条边长，c 为斜边长）∴用心 爱心 专心1＝＝＝． sin（α＋）≤1，∴≥＝＋1．当且仅当 θ＝时，的最小值为＋1。例 3 在△ABC 中，＝，求证：B、A、C 成等差数列。分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。而 B、A、C 成等差数列的充要条件是 A＝60°,故应证 A＝60°。证明 由条件得＝． sin（A＋B）＝sinC，∴sin（A－B）＝sinC－sinB，∴sinB＝sin（A＋B）－sin（A－B）＝2cosAsinB． sinB≠0，∴cosA＝，A＝60°．∴B、A、C 成等差数列。例 4 ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为，若，求角 C 的大小。解 由=cosB，故 B=，A＋C=.由正弦定理有：，又 sinA=sin(-C)=，于是sinC=cosC，tanC=1, C=。A＋C=,要求 C 需消去 A。说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，从而得关于 A、C 的两个方程链接1．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）己知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）己知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形，有一解或两解。2．利用余弦定理，可以解决...