第 31 讲 数列的递推本节主要内容两个基本递推：an＋1＝an＋d，an＝qan；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：① 递归式：一个数列中的第 项与它前面若干项，，…，（）的关系式称为递归式．② 递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列．2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等．3．思想策略：构造新数列的思想．4．常见类型： 类型Ⅰ：（一阶递归）其特例为：（1） （2） （3）解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．① 形如的递归式,其通项公式求法为：②形如的递归式,其通项公式求法为：③ 形 如的 递 推 式 , 两 边 同 除 以得, 令则句可转化为①来处理.类型Ⅱ：（二阶递归）解题方法：利用特征方程，求其根、 ，构造，代入初始值求得．① 若 p+q=1 时，有可知是等比数列，先求得，再求出.②若p+q≠l ， 则 存 在α ， β满 足整 理 得用心 爱心 专心1从 而 α+β=p ， αβ=q ， 可 解 出 α 、 β ， 这 样 可 先 求 出的通项表达式，再求出.注 意 α 、 β 实 质 是 二 次 方 程的 两 个 根 ， 将 方 程叫 做 递 归 式的特征方程．在数列{}中，给出 a1, a2，且 ，它的特征方程的两根为 α 与β．如果 α≠β，则；如果 α=β 则，其中 A 与 B 是常数，可由初始值 a1,a2 求出．类型Ⅲ. 如果递归数列{an}满足 an+1,其中 c≠0,ad-bc≠0,以及初始值 a0≠f(a1),则称此数列为分式线性递归数列.我们称方程的根为该数列的不动点.若该数列有两个相异的不动点 p、q，则 为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点 p，则是等差数列·5.求递归数列通项的常用方法有：换元法、特征根法、数学归纳法等． A 类例题 例 1 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是( )(2005 年辽宁卷)（Ａ） （Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）分析 利用递推式意义及数形结合解 由，，得，即，故选 A ．说明 分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断．用心 爱心 专心211yxO11yxO11yxO11yxO链接 例 2 已知数列，且 a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,……．（I）求 a3, a5；（II）求{ an}的通项公式． (2004 年全国高考题)分析 解（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3．a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13． (II) a2...
