第 31 讲 数列的递推本节主要内容两个基本递推：an＋1＝an＋d，an＝qan；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．1．基本概念：① 递归式：一个数列中的第 项与它前面若干项，，…，（）的关系式称为递归式．② 递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列．2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等．3．思想策略：构造新数列的思想．4．常见类型： 类型Ⅰ：（一阶递归）其特例为：（1） （2） （3）解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．① 形如的递归式,其通项公式求法为：②形如的递归式,其通项公式求法为：③ 形 如的 递 推 式 , 两 边 同 除 以得, 令则句可转化为①来处理
类型Ⅱ：（二阶递归）解题方法：利用特征方程，求其根、 ，构造，代入初始值求得．① 若 p+q=1 时，有可知是等比数列，先求得，再求出
②若p+q≠l ， 则 存 在α ， β满 足整 理 得用心 爱心 专心1从 而 α+β=p ， αβ=q ， 可 解 出 α 、 β ， 这 样 可 先 求 出的通项表达式，再求出
注 意 α 、 β 实 质 是 二 次 方 程的 两 个 根 ， 将 方 程叫 做 递 归 式的特征方程．在数列{}中，给出 a1, a2，且 ，它的特征方程的两根为 α 与β．如果 α≠β，则；如果 α=β 则，其中 A 与 B 是常数，可由初始值 a1,a2 求出．类型Ⅲ
如果递归数列{an}满足 an+1,其中 c≠0,ad-bc≠0,以及初始值 a0≠f(a1),则称此数列为分式线性递归数列
我们称方程的根为该数列的不动点
若该数列有两个相异的不动点 p、q，则 为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点 p，则是等差数列·5
求递归数列通项的常用方法有：换元法、特征根法、数学归纳法等． A 类例题 例 1 一给定函数的图象在下列图中
