【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第32讲 数学归纳法教案

第 32 讲 数学归纳法 本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用.通常那些直接或间接与自然数 n 有关的命题，可考虑运用数学归纳法来证明． 一.数学归纳法的基本形式 第一数学归纳法：设 P(n)是关于正整数 n 的命题，若 1°P(1)成立(奠基)； 2°假设 P(k)成立，可以推出 P(k+1)成立(归纳)， 则 P(n)对一切正整数 n 都成立．如果 P(n)定义在集合 N－{ 0,1,2,…,r－1}，则 1°中“P(1)成立”应由“P(r)成立”取代.第一数学归纳法有如下“变着”； 跳跃数学归纳法：设 P(n)是关于正整数 n 的命题，若 1°P(1)，P(2)，…，P(l)成立； 2°假设 P(k)成立，可以推出 P(k+l)成立，则 P(n)对一切正整数 n 都成立． 第二数学归纳法：设 P(n)是关于正整数一的命题，若 l° P(1)成立； 2°假设 n≤k(k 为任意正整数)时 P(n)(1≤n≤k)成立，可以推出 P(k+1))成立， 则 P(n)对一切自然数 n 都成立． 以上每种形式的数学归纳法都由两步组成：“奠基”和“归纳”，两步缺 一不可．在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提．二.数学归纳法证明技巧 1.“起点前移”或“起点后移”：有些关于自然数 n 的命题 P(n),验证 P(1)比较困难，或者 P(1)，P(2)，…，P(p－1)不能统一到“归纳”的过程中去，这时可考虑到将起点前移至P(0)(如果有意义)，或将起点后移至 P(r)(这时 P(1)，P(2)，…，P(r－1)应另行证明)． 2.加大“跨度”：对于定义在 M={n0，n0+r，n0+2r，…，n0+mr，…}( n0，r，m∈N*)上的命题P(n)，在采用数学归纳法时应考虑加大“跨度”的方法，即第一步验证 P(n0)，第二步假设P(k)(k∈M)成立，推出 P(k+r)成立． 3.加强命题：有些不易直接用数学归纳法证明的命题，通过加强命题后反而可能用数学归纳法证明比较方便．加强命题通常有两种方法：一是将命题一般化，二是加强结论．一个命题的结论“加强”到何种程度为宜，只有抓住命题的特点，细心探索，大胆猜测，才可能找到适宜的解决方案．本节主要内容有数学归纳法的原理，第二数学归纳法；数学归纳法的应用A 类例题 例 1 n 个半圆的圆心在同一直线上，这 n 个半圆每两个都相交，且都在 l 的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?解 设这些半圆最多互相分成 f(n)=段圆弧，则 f(1)=1，f(2)=4=22, f(3)=9=33,猜想：f(n)=n2, 用数学归纳法证明如下：1°当 n=1 时，猜想显然...