第 34 讲 函数迭代与函数方程本节主要内容有函数迭代与函数方程问题．在研究函数的表达式或函数性质时，通常是没有给出函数的解析式，往往只给出函数的某些性质，而要求出函数的解析式，或证明该函数具有另外的一些性质，或证明满足所给性质的函数不存在或有多少个，或求出该函数的某些特殊函数值……。A 类例题 例 1 已知，则函数 。 解 令；则。将此代入式可得 （）。即 （）代入(1)式，显然其满足方程。 说明 解函数方程（其中及是已知函数）时，可设，并在的反函数存在时，求出反函数；将它们代回原来的方程式以求出。但若为未知函数时，这个方法就不能用了。由于代换后的函数未必与原函数方程等价，所以最后一定要检验所得到的解是否满足原来的函数方程。 例 2 已知为多项式函数，解函数方程 （1）分析 由于为多项式函数，注意与和的次数是相同的。解 因为为多项式函数，而与并不会改变的次数，故由(1)可知为二次函数。不妨设，则， ，所以，所以 解得所以。用心 爱心 专心1易检验出此确实满足。说明 当是多项式时，一般可设代入函数方程两端，比较两端 x 最高次幂的指数和 x 同次幂的系数，得到关于 n 及的方程组，解出这个方程组便可得到函数方程的解。情景再现1．已知 f(2x－1)=x2＋x，那么函数 f(x)=______________。2．已知是二次函数，解函数方程。3．若定义在上的函数 f(x)满足2f(x)＋f（)=x，求函数 f(x)。B 类例题 例 3 设 f (x)是定义在 R 上的偶函数。其图象关于直线 x＝1 对称，对任意 x1，x2，都有 f (x1＋x2)＝f (x1)·f (x2)，且 f ( 1 )＝a＞0．（1）求及；（2）证明 f (x)是周期函数；（2001 年全国高考题）（1）解 因为，令，得 ①由，知≥0，x∈[0，1]。取代入①式得=f (1)＝a＞0，由知。 取代入①式得，由知。（2）证明 依题设 y＝f (x)关于直线 x＝1 对称，故 f (x)＝f (1＋1－x)，即 f (x)＝f (2－x)，x∈R又由 f (x)是偶函数知 f (－x)＝f (x)，x∈R将上式中－x 以 x 代换，得 f (x)＝f (x＋2)，x∈R这表明 f (x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期．例4 已 知 函 数满 足 ：， 且 对 任 意 的有 (1)用心 爱心 专心2求函数。分析 已知函数方程中出现了两个独立的变量 x、y，不妨设其中一个变量为常数。解 令代入(1)可得，(2) 令代入(1)可得， (3)令代入(1)可得 (4)由 (2)、(3)、(4)得 ， 即，...
