第 34 讲 函数迭代与函数方程本节主要内容有函数迭代与函数方程问题．在研究函数的表达式或函数性质时，通常是没有给出函数的解析式，往往只给出函数的某些性质，而要求出函数的解析式，或证明该函数具有另外的一些性质，或证明满足所给性质的函数不存在或有多少个，或求出该函数的某些特殊函数值……
A 类例题 例 1 已知，则函数
将此代入式可得 （）
即 （）代入(1)式，显然其满足方程
说明 解函数方程（其中及是已知函数）时，可设，并在的反函数存在时，求出反函数；将它们代回原来的方程式以求出
但若为未知函数时，这个方法就不能用了
由于代换后的函数未必与原函数方程等价，所以最后一定要检验所得到的解是否满足原来的函数方程
例 2 已知为多项式函数，解函数方程 （1）分析 由于为多项式函数，注意与和的次数是相同的
解 因为为多项式函数，而与并不会改变的次数，故由(1)可知为二次函数
不妨设，则， ，所以，所以 解得所以
用心 爱心 专心1易检验出此确实满足
说明 当是多项式时，一般可设代入函数方程两端，比较两端 x 最高次幂的指数和 x 同次幂的系数，得到关于 n 及的方程组，解出这个方程组便可得到函数方程的解
情景再现1．已知 f(2x－1)=x2＋x，那么函数 f(x)=______________
2．已知是二次函数，解函数方程
3．若定义在上的函数 f(x)满足2f(x)＋f（)=x，求函数 f(x)
B 类例题 例 3 设 f (x)是定义在 R 上的偶函数
其图象关于直线 x＝1 对称，对任意 x1，x2，都有 f (x1＋x2)＝f (x1)·f (x2)，且 f ( 1 )＝a＞0．（1）求及；（2）证明 f (x)是周期函数；（2001 年全国高考题）（1）解 因为，令，得 ①由，知≥0，x∈[0，1]
取代入①式得=f (1)＝a＞0，由知
