第 38 讲 不定方程我们把未知数的个数多于方程的个数、且未知数受到某些限制（整数、正整数）的方程（组）称之为不定方程（组）
通常不定方程（组）问题有三种类型：（1）判断不定方程（组）是否有解；（2）求不定方程（组）的解；（3）计算不定方程（组）的解的个数
本讲主要学习二元一次不定方程（组）、基本二次型不定方程的解法和处理不定方程问题的一些常用知识和方法
A 类例题 例 1．求不定方程 11x+15y=7 的整数解
分析 注意到(11,15)=1，则存在惟一的一对整数 u，v，使得 11u+15 v=1，x=7u、y=7v 就是方程的一组特解，整数 u，v 可以通过观察试验得到，也可以用转辗相除法求得
若 t 是整数，则 x=7u+15t，y=7v－11t 也是方程的解
可以证明方程 11x+15y=7 的每一个整数解都能化为这种形式，x=7u+15t，y=7v－11t，(t∈Z)是方程的一般解，称为通解
解 (11,15) | 7, ∴ 方程有解
15=11×1+4，11=4×2+3，4=3×1+1
∴11×(-4)+15×3=1,即 11×(-28)+15×21=7,故方程的解为：（t 为任意整数）
说明 求不定方程 ax+by=c 的整数解，先看(a，b) | c 是否成立，不成立则方程无整用心 爱心 专心1链接 对于二元一次不定方程 ax+by=c, a，b，c∈Z，ab≠0 有下述结论：(1)方程有整数解的充分必要条件是： (a，b) | c；(2)若方程组有一组正整数解 x0，y0，则它的所有正整数解可表示为： (其中 t∈Z)——通常可以在方程两边同时除以(a，b)，使得 x，y 的系数互质
(3) 若(a，b)=1,且 x0，y0为不定方程 ax+by=c 的一个解，则方程的一切解都可以表示成：( t∈Z)
其中(x0，y0)是方程 ax+by=c 的一个
