第 40 讲 格点本节主要内容有格点的概念，及格点在解题中的应用．格点，又叫整点，指的是在直角坐标系中，每个坐标都是整数的点．或者直接在平面上取两组互相垂直的平行线(在空间中就取三组互相垂直的平行平面)，相邻的两条平行线的距离相等，这两组平行线的交点就是格点．当一个多边形的所有顶点都是两组互相垂直的平行线，相邻的两条平 行线的距离相等，这两组平行线的交点就是格点．关于格点多边形，有下列定理：定理 1 (皮克定理)设格点多边形内部有 N 个格点，边界上有 L 个格点，则其面积S=N+L－1．(证明略)定理 2 边与两轴平行的正方形(顶点不一定是格点)，如果其面积大于 1，则其内部至少有一个格点． 证明 如图，设点 A、B 的横坐标分别为 a，b，则 r＝b－a＞1．若 a 为整数，则 a＋1＜b，而 a＋1 为整数，此时，直线 x＝a＋1穿过正方形 ABCD 内部；若 a 不是整数，[a]是不超过 a 的最大整数，{a}＝a－[a]，有 0＜{a}＜1，此时 a＝[a]＋{a}＜[a]＋1＝a－[a]＋1＝a＋1－[a]＜b－[a]＜b．即直线 x＝[a]＋1 穿过正方形内部．总之，正方形内部有一条竖直格线穿过．同理，正方形内部有一条水平格线穿过．即其正方形内部有一个格点．A 类例题 例 1 ⑴ 内部不含格点的圆，其面积≤．⑵ 内部恰有一个格点的圆，其半径不大于 1．分析 本题是定理 2 的一个直接应用．⑴ 证明 如果圆的面积＞，则其半径＞其内接正方形边长＞1．由定理 2 可知其内部必有格点．故证．⑵ 证明 设⊙O 有内部恰有一个格点，且其的半径＞1．圆心 O 必在某个格点正方形 ABCD 内或在其边上．从而A、B、C、D 至少有三点在⊙O 外或⊙O 上．于是相对的两个顶点 A、C或 B、D 同在⊙O 外或⊙O 上，例如 B、D 在⊙O 外(或⊙O 上)．于是BO≥1，DO≤1．即 O 应在以 B、D 为圆心，1 为半径的圆外(或边界上)，又在正方形 ABCD 内部，这是不可能的．例 2 ⑴ 找出内部恰有 0 个、1 个、2 个、3 个、4 个格点的面积最大的圆．⑵ 能否找到内部恰有 5 个格点的面积最大圆？⑴ 解 (如图)内部恰有 0 个格点的面积最大圆的半径＝；内部恰有 1 个格点的面积最大圆的半径＝1；内部恰有 2 个格点的面积最大圆的半径＝；用心 爱心 专心1yxODABCabyxODABCOODABC内部恰有 3 个格点的面积最大圆的半径＝；内部恰有 4 个格点的面积最大圆的半径＝．⑵ 解 如左图画的是内部有 5 个格点且过 4...
