【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第41讲 解不等式教案

第 41 讲 解不等式本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含绝对值的不等式的解法．解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理．解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为密切的联系，它们互相转化、相互渗透，又有所区别．A 类例题例 1 解不等式解：对任意 x，，因此该式可省略，再把 6－x 变为 x－6，不等号方向作相应改变，即原不等式与不等式同解．用数轴标根法原不等式的解集为说明：高于二次的不等式称为高次不等式．解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解，使每个因式成为一次或二次式，而且各因式中 x 的最高次数的那一项的系数应为正数．链接：早年，人们解高次不等式都要列表，过程有点繁．1977 年美国人普鲁特和莫里（M.H.protter, C.B.Morrey）将列表法简化为数轴上直接表示的方法，既快捷又方便，答案在数轴上一目了然．例 2 解不等式解：（1）当 x>0 时，原不等式化为；（2）当 x<0 时，原不等式化为.综合（1）（2），原不等式的解集为说明：解不等式讲究一个“化”字，也就是将原不等式化为同解的最简单的不等式．解分式不等式时都是把它化成同解的整式不等式．例如不等式与不等式同解，也就是与同解．一般情况下分式不等式是不能去分母的，但若能判定分母恒大于 0 或恒小于 0，则可以去分母．例 3 解不等式 （1985 年 全国高考题.理科）用心 爱心 专心－ 10461解：原不等式化为 （1） 或 （2）对于（1）对于（2）因此，原不等式的解集为说明：解无理不等式时，为了化成有理不等式，一般都有乘方．但这时候一定要注意式子的取值范围，否则乘方后会破坏不等式的同解性．例如 x=1 是不等式解集中的一个元素，而 x=1 就不是不等式解集中的元素．一般地， 另外在解题过程忠，集合之间的“交”、“并”关系也必须理清楚，这样才能保证答案的正确性．情景再现1. 解不等式2. 设 a>0，解关于 x 的不等式3. 设函数，其中 a>0，解不等式 （2000 年全国高考题.理科）B 类例题例 4 解不等式用心 爱心 专心2分析：这是一个指数不等式．注意到其底数 4、6、9 有如下关系，，，因此类似于解指数方程，可以将不等式两边同除以．解：原不等式化为令，则 ，则有原 不 等 式 的 解 为说明：为减函数，疏忽了这一点，解的最后一步就会出错．解指数不等式一般应先解出的范围，进而再求 x 的范围．例 5 若，解不等式解：令，由对数换...