第 42 讲平均不等式 本节主要内容是两个、三个或 n 个（n∈N+）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，也就是 对于一般正整数 n 的平均不等式，我们将在本节的附录里给出证明．A 类例题例 1 证明：对任意实数 a>1,b>1， 有分析：由对称性，容易算出当 a=b=2 时等号成立，此时证明：[即 同理 两同向不等式相加得，a=b=2 时等号成立．说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口．本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性．链接：本题可以稍作引申：当 a>1,b>1,c>1 时，例 2 已知 a2,…, an是 n 个正数，满足 c=1 求证：（2+ a1）（2+ a2）…（2+ an） (1989 年全国联赛题)分析：考虑到已知条件 a1.a2…an=1，因此如何从（2+ a1）（2+ a2）…（2+ an）过渡到能用已知条件就成关键．再注意到 2+ a1，2+ a2等都与 3 比较接近，并且还有相等的可能，因此证法便自然得到．证明：1+1+ a1即 2+ a1同理 2+ a2 … 2+ an用心 爱心 专心1将这 n 个同向不等式相乘得（2+ a1）（2+ a2）…（2+ an）.，当 a1= a2= an时等号成立．说明：本题证明中将 2+ a1拆成 1+1+ a1，这种恒等变形（分拆）还有形形色色的“凑”和“配”，在解题时是经常用到的．这些技巧的运用并无固定的程式和章法可套，只能根据题目的特点，因题而异．经验和洞察力要靠我们不断地实践和积累．链接：本题也可以从左边入手乘开，或将 3n表为（2+1）n二项展开都可以获得成功，过程略显繁琐．例 3 设 a>b>0，那么 a2+的最小值是_____（2005 年全国高中联赛江苏赛区初赛）分析：本题取自课本的一个习题（人教社版，第二册（上）），题中有两个变量 a，b，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到和-b 之和为 a，因式解： a2+，因此 a2+的最小值是 4． 当时取得最小值．说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．链接：如果题目变为 a>b>0，求 a2+的最小值，你会做吗？情景再现1. 设 a>b>c，证明2. 设 X1, X2…Xn，求证 X1+ X2+…+ Xn3. 证明 3，其中 a，b，c∈R+B 类例题例 4 已知 abc=0，求证 （2004 年北京市中学生数学竞赛高一）分析：如果通分或去分母也许能行得通，但计算量太大，因此...
