第 5 讲 空间图形的位置关系本节主要内容有空间的平面与直线的位置关系；共面直线；异面直线的定义、所成角、公垂线与距离等．A 类例题 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有（ ）（2005 年高考·全国卷·理科）（A）18 对（B）24 对（C）30 对（D）36 对分析 先考虑什么样的直线是异面直线，然后对这些异面直线适当分类，计数要不重不漏．解法一 （加法）（1）与 A1B1成异面直线的有 5 对，同理与 A1C1、B1C1成异面直线的各有 5 对；这样与上底面的三条直线成异面直线的有 15 对；（2）与 AB，AC，BC 成异面直线的有 9 对（除去与（1）重复的）；（3）与侧棱 AA1、BB1、CC1成异面直线的有 6 对（除去与（1）（2）重复的）；（4）侧面对角线之间成异面直线的有 6 对；所以异面直线总共有 36 对，选 D．解法二 （减法）（1）共一顶点的共面直线有 6＝60 对；（2）侧面互相平行的直线有 6 对；（3）侧面的对角线有 3 对共面；所以异面直线总共有－60－6－3＝36 对，选 D． 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与 ED 平行；②CN 与 BE 是异面直线；③CN 与 BM 成 60°角；④DM 与 BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A．①②③B．②④C．③④D．②③④（2002 年高考·上海卷·春季）分析 把正方体复原，然后考察命题正确与否．解 从还原后的图可知 BM 与 ED 是异面直线，故①不成立，而 CN∥BE，故②不成立．由排除法知 C 为正确答案．说明 △CAN 为正三角形，而 BM∥AN，所以③成立．BM 在平面 ABFE 上的射影为 BE，AF⊥BE，所以 AF⊥BN，又 DM∥AF，所以④成立．用心 爱心 专心1C1A1BACB1FMCNDABEMNFCABDE 对于四面体 ABCD，给出下列四个命题：① 若 AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD；② 若 AB＝CD，AC＝BD，则 BC⊥AD；③ 若 AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD；④ 若 AB⊥CD，BD⊥AC，则 BC⊥AD．其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的序号）（2003 年高考·河南卷）解 如右图，则△ABC 和△DBC 是以 BC 为底边的两个等腰三角形，作BC 中点 E，则 BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面 AED，∴BC⊥AD，故①真．若②成立，由 AH1⊥BC 于 H1，DH2⊥BC 于 H2．由△ABC≌△DCB 知 BH1＝CH2，若 AB≠AC，则 H1与 H2不重合．但由 BC⊥AD 知 BC⊥平面 AED，∴BC⊥DE，即DE 为△DBC 中 BC 边上...
