第 7 讲 角度与距离答案1.答案：．2.答案：D3.答案：B4.答案：5.答案：C6.解：（1）证明： BC＝AC－AB＝（，，0），∴|BC|＝m，又AB＝（，－，0），AC＝（m，0，0）∴|AB|＝m，|AC|＝m，∴△ABC 为正三角形．又AB·AA1＝0，即 AA1⊥AB，同理 AA1⊥AC，∴AA1⊥平面 ABC，从而三棱柱 ABC—A1B1C1是正三棱柱．（2）解：取 AB 中点 O，连结 CO、A1O． CO⊥AB，平面 ABC⊥平面 ABB1A1，∴CO⊥平面 ABB1A1，即∠CA1O 为直线 CA1与平面 A1ABB1所成的角．在 Rt△CA1O 中，CO＝m，CA1＝，∴sin∠CA1O＝＝，即∠CA1O＝45°．7.解：（1）以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 AA1所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB1A1垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系．由已知，得 A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（－a，，a）．（2）取 A1B1的中点 M，于是 M（0，，a），连 AM，MC1有MC1＝（－a，0，0），且AB＝（0，a，0），AA1＝（0，0，a）由于MC1·AB＝0，MC1·AA1＝0，所以 MC1⊥面 ABB1A1．∴AC1与 AM 所成的角就是 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 AC1＝（－a，，a），AM＝（0，，a），∴AC1·AM＝0＋＋2a2＝a2．而|AC1|＝＝a．|AM|＝＝a．∴cos＜AC1，AM＞＝．所以AC1与AM所成的角，即 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30°．8.解：以 B1为原点建立平面直角坐标系，则 A（1，0，1），C（0，1，1），A1（1，0，0），D（1，1，1），则A1A＝（0，0，1），AC＝（－1，1，0），A1D＝（0，1，1）设n＝(x，y，z)同时与AC和A1D垂直，则，故，取 y＝1，则n＝（1，1，－1），d＝＝．用心 爱心 专心1BCDB1D1C1A1A习题七9.答案：A10. 答案：B11. 答案：B12. 解：（1）证明：因为 CB⊥平面 A1B，所以 A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B．由 A1B⊥AE，AE平面 A1B，得 A1C⊥AE．同理可证 A1C⊥AF．因为 A1C⊥AF，A1C⊥AE，所以 A1C⊥平面 AEF．（2）解：过 A 作 BD 的垂线交 CD 于 G，因为 D1D⊥AG，所以 AG⊥平面 D1B1BD．设 AG 与 A1C 所成的角为 α，则 α 即为平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角．由已知，计算得 DG＝．建立如图直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5），C（4，3，0）．AG＝{，3，0}，A1C＝{4，3，－5}．因为 AG 与 A1C 所成的角为 α，所以 cosα＝，α＝arccos．由定理知，平面 AEF 与平面 D1B1BD ...
