§8.6 空间向量及其运算2014 高考会这样考 1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1． 空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．(4)共面向量：平行于同一个平面的向量．2． 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝λb.推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是OP＝OA＋ta①其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈R，在 l 上取AB＝a，则①可化为OP＝OA＋tAB或OP＝(1－t)OA＋tOB.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中 x，y∈R，a，b 为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA＋yMB或对空间任意一点 O，有OP＝OM＋xMA＋yMB或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中 x＋y＋z＝__1__.(3)空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．3． 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念① 两向量的夹角已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称 a 与 b 互相垂直，记作a⊥b.② 两向量的数量积已知空间两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a，b 的数量积，记作 a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律① 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4． 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，1则 a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b⇔a＝λb⇔a1＝ λb 1，a2＝ λb 2，a3＝λb3 (λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 (a，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝，...
