§2.3 函数的奇偶性与周期性2014 高考会这样考 1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围；3.函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的小综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1． 奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴 对称．2． 奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，① 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；② 两个偶函数的和、积都是偶函数；③ 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3． 周期性(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．[难点正本 疑点清源]1． 函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．2． 函数奇偶性的性质(1)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.(2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于1原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．1． (课本改编题)已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是________．答案 解析 由 f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即 ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又 f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝，故 a＋b＝.2． (2011·广东)设函数...
