讲义：等比数列及其前n项和

（经典）讲义：等比数列及其前 n 项和1．等比数列的定义假如一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝a1· q n － 1 .3．等比中项若 G 2 ＝ a · b ( ab ≠0) ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·q n － m ，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则 ak· a l＝ a m· a n.(3) 若 {an} ， {bn}( 项 数 相 同 ) 是 等 比 数 列 ， 则 {λan}(λ≠0) ， ， {a} ，{an·bn}，仍是等比数列．(4)公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 q n .5．等比数列的前 n 项和公式等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn，当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝＝.【注意】6. 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和： Sn＝ a 1＋ a 1q ＋ a 1q 2 ＋ … ＋ a 1q n － 1 ， 同乘 q 得： qS n＝ a 1q ＋ a 1q 2 ＋ a 1q 3 ＋ … ＋ a 1q n ， 两式相减得 (1 － q ) S n＝ a 1－ a 1q n ， ∴ S n＝ ( q ≠1) ． 7.1 由 a n＋1＝ qa n， q ≠0 并不能立即断言 { a n} 为等比数列，还要验证 a 1≠0.7.2 在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q ＝ 1 与 q ≠1 分类讨论， 防止因忽略 q ＝ 1 这一特别情形导致解题失误． 8. 等比数列的推断方法有： (1) 定义法：若 ＝ q ( q 为非零常数 ) 或 ＝ q ( q 为非零常数且 n ≥ 2 且 n ∈ N * ) ，则 { a n}是等比数列．(2) 中项公式法：在数列 { a n} 中， a n≠0 且 a ＝ a n· a n＋2( n ∈ N * ) ，则数列 { a n} 是等 比数列．(3) 通项公式法：若数列通项公式可写成 a n＝ c · q n ( c ， q 均是不为 0 的常数 ， n ∈ N * ) ，则 { a n} 是等比数列． 一、知识梳理1.等比数列前 项和公式(1)探究导引: 求和说明：对于等比数列的前 项和公式:从方程观点看:由等比数列的前 项和公式及通项公式可知,若已知中的...