三十六计之三—借刀杀人与数学解题（4）

三十六计之三—借刀杀人与数学解题(4)—利用平几知识 解决立几问题江苏省邳州市宿羊山高级中学（221354）耿道永由于对高维问题的思索不及低维问题容易，因此为了解决高维问题，常先找到类似的低维问题加以比较，从对低维问题的探索中找到类似的方法与结论来解决问题，或直接转化为低维问题来解决。而立体几何是建立在平面几何基础之上的，立体几何知识是平面几何知识的拓广，因此利用它们之间的这种关系是解决立体几何的一个关键，下面结合例题谈谈立几问题中的降维转化策略。1、类比法为了解决立几问题，常先找到类似的平几问题加以比较，从对平几问题的探索中找到类似的方法和结论解决立几问题，它又包括两个方面：例 1 如图 3－9，若从点 O 所作的两条射线 OM，ON 上分别有 M1，M2与N1，N2，则三角形面积之比=·。若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射线 OP，OQ 和 OR 上，分别有点 P1，P2，点 Q1，Q2和点 R1，R2，则类似的结论为 。（2002 年上海春季高考题）解析 由二维平面的面积比，类比联想三维空间的体积比，二维平面两线段乘积的比类比三维空间三线段乘积的比，因此猜想结论为： =··。验证略。N2N1M2M1NMoOPQRP1P2Q1Q2R2R1 图 3－9 例 2 (2003 年全国高考题)在平面几何里, 由勾股定理: “设△ABC 的两边AB、AC 互相垂直, 则 AB2+AC2= BC2”, 拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A-BCD 的三个侧面 ABC, ACD, ADB 两两互相垂直,则 。分析：（如图 3－10）由于三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC, ACD, ADB 两两互相垂直,故直角面可以类比于直角三角形的直角边, 底面 BCD 被三个两两互相垂直的侧面所包围,故可以类比于直角三角形的斜边, 从而可以得到猜想: S2△ABC+S2△ACD +S2△ADB= S2△BCD. 用心 爱心 专心证明略。事实上，该问题还可以进一步推广为：在三棱锥 A-BCD 中，设 S1,S2,S3,S4分别为△ ADC,△ADB,△BDC 和△ABC 面积。又二面角 B-AD-C=,A-BD-C=, A-DC-B=。则.该命题也可以看作是余弦定理的 图 3－10推广。2、侧面展开法有些立几问题，需要将几何体的表面沿着某些线剪开，并展平为平面图形，进而利用平面几何知识来处理。多面体和旋转体的侧面积大都借此法推导出来的 例 3 如图 3－11，正三棱锥 V-ABC 中，侧棱长为 2，且∠AVB=∠BVC=∠CVA=300。从点 A 作一截面，使...