云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 专 题 （ 二 十 四 ）题目 高中数学复习专题讲座直线与圆锥曲线问题的处理方法(1)高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长( 即应用弦长公式) ；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解例1 如图所示，抛物线y2=4x 的顶点为O ，点A 的坐 标 为(5 ，0) ，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交( 不经过点O 或点A)且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN面积最大时直线l 的方程，并求△AMN的最大面积 命题意图 直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题 本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托 弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想 错解分析 将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 技巧与方法 涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算 解法一 由题意，可设l 的方程为y=x+m,其中－5 ＜m ＜0 由方程组xymxy42, 消去y, 得x2+(2m－4)x+m2=0 ① 直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m ＜1, 又－5 ＜m ＜0,∴m 的范围为( －5 ，0)设M(x1,y1),N(x2,y2) 则x1+x2=4－2m ，x1·x2=m2,∴|MN|=4)1(2m 点A 到直线l 的距离为d=25m ∴S△=2(5+m)m1, 从而S△2=4(1 －m)(5+m)2用心 爱心 专心BNMAoyx=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(35522mmm)3=128 ∴S△≤82, 当且仅当2 －2m=5+m...
