云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 专 题 （ 三 十 二 ）题目 高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用高考要求 数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法 重难点归纳 (1)数学归纳法的基本形式设P(n) 是关于自然数n 的命题，若1°P(n0)成立( 奠基)2°假设P(k) 成立(k≥n0)，可以推出P(k+1) 成立( 归纳) ，则P(n) 对一切大于等于n0 的自然数n 都成立 (2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 典型题例示范讲解 例1 试证明 不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n∈N* 且a 、b 、c 互不相等时，均有 an+cn＞2bn 命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式 知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况 技巧与方法 本题中使用到结论 (ak－ck)(a －c) ＞0 恒成立(a 、b 、c 为正数) ，从而ak+1+ck+1 ＞ak·c+ck·a 证明 (1)设a 、b 、c 为等比数列，a= qb,c=bq(q＞0 且q≠1)∴an+cn=nnqb+bnqn=bn(nq1+qn) ＞2bn(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b=a+c猜想2nnca ＞(2ca )n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明 ①当n=2 时，由2(a2+c2) ＞(a+c)2 ，∴222)2(2caca②设n=k 时成立，即,)2(2kkkcaca则当n=k+1 时，41211kkca (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞41(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41 (ak+ck)(a+c)＞(2ca )k·(2ca )=(2ca )k+1也就是说，等式对n=k+1 也成立 由①②知，an+cn＞2bn 对一切自然数n 均成立 用心 爱心 专心例2 在数列{an} 中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－21成等比数列 (1)求a2,a3,a4，并推出an 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an} 所有项的和 命题意图 本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识 知识依托 等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤 采用的方法是归纳、猜想、证明 错解分析 (2)中，Sk= －321k应舍去，这一点往往容易被忽视 技巧与方法 求通项可证明{nS1} 是以{11S} 为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式 解 an,Sn,Sn－21成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－21)...
