云南省2010届高三二轮复习数学专题教案（三十四）

云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 专 题 （ 三 十 四 ）题目 高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用高考要求 函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳 1 深刻理解函数f(x) 在x0 处连续的概念 等式 lim0xxf(x)=f(x0) 的涵义是 (1)f(x0) 在x=x0 处有定义，即f(x0) 存在；(2) lim0xxf(x) 存在，这里隐含着f(x) 在点x=x0 附近有定义；(3)f(x) 在点x0 处的极限值等于这一点的函数值，即 lim0xxf(x)=f(x0) 函数f(x) 在x0 处连续，反映在图像上是f(x) 的图像在点x=x0 处是不间断的 2 函数f(x) 在点x0 不连续，就是f(x) 的图像在点x=x0 处是间断的 其情形 (1) lim0xxf(x) 存在；f(x0) 存在，但 lim0xxf(x)≠f(x0);(2) lim0xxf(x) 存在，但f(x0) 不存在 (3) lim0xxf(x) 不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f(x)在其定义区间内是连续的，点x0 是定义区间内的一点，那么求x→x0 时函数f(x)的极限，只要求出f(x)在点x0 处的函数值f(x0) 就可以了，即 lim0xxf(x)=f(x0) 典型题例示范讲解 例1 已知函数f(x)=242xx,(1)求f(x) 的定义域，并作出函数的图像；(2)求f(x) 的不连续点x0;(3)对f(x) 补充定义，使其是R 上的连续函数 命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图像上有最直观的反映 因而画函数图像去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法 知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图像 错解分析 第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式 技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图像进行解答 解 (1)当x+2≠0时，有x≠ －2因此，函数的定义域是( －∞, －2)∪(－2,+∞)当x≠ －2 时，f(x)=242xx =x －2,其图像如上图用心 爱心 专心(2)由定义域知，函数f(x) 的不连续点是x0= －2 (3)因为当x≠ －2 时，f(x)=x －2,所以)2(lim)(lim22xxfxx= －4 因此，将f(x) 的表达式改写为f(x)=2)( 4)2( 242xxxx则函数f(x) 在R 上是连续函数 例2 求证 方程...