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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第七章 第六节椭圆(二) 理

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第六节 椭 圆 (二)基础自测1.已知方程+=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( )A. B.(1,+∞) C.(1,2) D.解析:依题意,2k-1>2-k>0,解得 1<k<2.故选 C.答案:C2.(2013·湖南郴州模拟)设 e 是椭圆+=1 的离心率,且 e∈,则实数 k 的取值范围是( )A.(0,3 ) B.C.(0,3)∪ D.(0,2)解析:当 k>4 时,c=,由条件知<<1,解得 k>;当 0b>0)的一个顶点作圆 x2+y2=b2的两条切线,切点分别为 A,B,若∠AOB=90°(O 为坐标原点),则椭圆 C 的离心率为________.解析: ∠AOB=90°,∴∠AOF=45°.∴=.∴e2===1-=,即 e=.答案:4.若直线 mx+ny=4 与⊙O:x2+y2=4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆+=1 的交点个数是__________.解析:因为直线 mx+ny=4 与圆 x2+y2=4 没有交点,所以>2,所以 m2+n2<4.所以点 P(m,n)在椭圆+=1 内部.所以交点个数为 2 个.答案:21.(2012·新课标全国卷)设 F1,F2分别是椭圆 E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x=上一点,△F2PF1是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( )A. B. C. D.解析:设直线 x=与 x轴交于点 D, △F2PF1是底角为 30°的等腰三角形,则有|F2F1|=|F2P|,∴∠PF1F2=30°.∴∠PF2D=60°,∠DPF2=30°.∴|F2D|=|PF2|=|F1F2|,即-c=×2c=c,∴=2c,即=.∴椭圆的离心率为 e=.故选C.答案:C2.(2013·安徽卷)设椭圆 E:+=1 的焦点在 x 轴上.(1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程;(2)设 F1,F2分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q.证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上.1(1)解析:因为焦距为 1,所以 2a2-1=,解得 a2=.故椭圆 E 的方程为+=1.(2)证明:设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中 c=.由题设知 x0≠c,则直线 F1P 的斜率 kF1P=.直线 F2P 的斜率 kF2P=.故直线 F2P 的方程为 y=(x-c).当 x=0 时,y=,即点 Q 坐标为.因此,直线 F1Q 的斜率为 kF1Q=.由于 F1P⊥F1Q,所以 kF1P·kF1Q=·=-1.化简得 y=x-(2a2-1).*将*代入椭圆 E 的方程,由于点 P(x0,y0)在第一象限.解得 x0=a2,y0=1-a2.即点 P 在定...

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