云南省2010届高三数学二轮复习专题教案（四十七）

云 南 省 2010 届 高 三 二 轮 复 习 数 学 专 题 教 案（ 四 十 七 ）特征方程法求解递推关系中的数列通项（二）三、( 分式递推式) 定理3 ：如果数列}{na满足下列条件：已知1a的值且对于Nn，都有hraqpaannn1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx.（1 ）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若,1a则;N, nan若1a，则,N,1nbann其中.N,)1(11nrprnabn特别地，当存在,N0 n使00 nb时，无穷数列}{na不存在.（2 ）当特征方程有两个相异的根1、2（称作特征根）时，则112nnncca，,Nn其中).(,N,)(211212111anrprpaacnn其中例3 、已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31 a求}{na的通项公式.解: 依定理作特征方程,324 xxx变形得,04222 xx其根为.2,121 故特征方程有两个相异的根，使用定理2 的第（2 ）部分，则有.N,)221211(2313)(11212111nrprpaacnnn∴.N,)51(521ncnn用心 爱心 专心∴.N,1)51(521)51(52211112nccannnnn即.N,)5(24)5(nannn例5 ．已知数列}{na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1 ）若,51 a求;na（2 ）若,31 a求;na（3 ）若,61 a求;na（4 ）当1a取哪些值时，无穷数列}{na不存在？解：作特征方程.32513xxx变形得,025102xx特征方程有两个相同的特征根.5依定理2 的第（1 ）部分解答.(1) .,511aa对于,Nn都有;5na(2) .,311aa∴rprnabn)1(11 51131)1(531n ,8121n令0nb，得5n. 故数列}{na从第5 项开始都不存在，当n ≤4 ，Nn时，51751nnbann.(3) ,5,61a∴.1a∴.,811)1(11Nnnrprnabn令,0nb则.7nn∴对于.0bN,n n用心 爱心 专心∴.N,7435581111nnnnbann(4)、显然当31a时，数列从第2 项开始便不存在. 由本题的第（1 ）小题的解答过程 知 ，51 a时 ， 数 列}{na是 存 在 的 ， 当51a时 ， 则 有.N,8151)1(111nnarprnabn令,0nb则得N...