课时分层作业十七定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用一、选择题(每小题5分,共35分)1.(x2+x3-30)dx=()A.56B.28C.D.14【解析】选C.(x2+x3-30)dx==(43-23)+(44-24)-30(4-2)=.【变式备选】下列积分的值等于1的是()A.xdxB.(x+1)dxC.dxD.dx【解析】选C.dx=x=1.2.设函数f(x)=则定积分f(x)dx等于()A.B.2C.D.【解析】选C.f(x)dx=x2dx+dx=x3+x=.3.(2018·厦门模拟)设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于()A.B.C.D.【解析】选A.f′(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1,所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,所以f(-x)dx=(x2-x)dx==.4.(2018·新余模拟)已知(x2+mx)dx=0,则实数m的值为()A.-B.-C.-1D.-2【解析】选B.根据题意有(x2+mx)dx=(x3+mx2)=+m=0,解得m=-.5.(2018·长沙模拟)如图,矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)=sinx(x∈(0,π))及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为,则a的值是()A.B.C.D.【解题指南】先运用定积分求出阴影部分的面积,再利用几何概型概率计算公式及三角函数求出a.【解析】选B.由已知S矩形OABC=a×=6,而阴影部分的面积为S=sinxdx=(-cosx)=1-cosa,依题意有=,即=,得:cosa=-,又a∈(0,π),所以a=π.6.一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度v(t)=5-t+(t的单位:s,v的单位:m/s)紧急刹车至停止.在此期间火车继续行驶的距离是()A.55ln10mB.55ln11mC.(12+55ln7)mD.(12+55ln6)m【解析】选B.令5-t+=0,注意到t>0,得t=10,即经过的时间为10s;行驶的距离s=dt=[5t-t2+55ln(t+1)]=55ln11,即紧急刹车后火车运行的路程为55ln11m.7.(2018·南昌模拟)若a=x2dx,b=x3dx,c=sinxdx,则a,b,c的大小关系是()A.a
3,c=sinxdx=(-cosx)=1-cos2<2,所以c0)所围成的曲边图形的面积为,则k=________.【解析】由得或则曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为(kx-x2)dx==-k3=,即k3=8,所以k=2.答案:21.(5分)(2018·珠海模拟)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()A.B.C.D.【解析】选A.由得x=t.故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=+=t3-t2+,令S′=4t2-2t=0,因为00),代入点B的坐标,得p=,故抛物线的方程为y=x2.从而曲边三角形OEB的面积为x2dx==.又S△ABE=×2×2=2,故曲边三角形OAB的面积为,从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形ABCD的面积为×2=16,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为=1.2.答案:1.2【误区警示】本题的解析中容量忽略图象的对称性,计算结果时,阴影部分的面积应为.4.(12分)如图所示,过点A(6,4)作曲线f(x)=的切线l.(1)求切线l的方程.(2)求切线l,x轴及曲线f(x)=所围成的封闭图形的面积S.【解析】(1)由f(x)=,所以f′(x)=.又点A(6,4)为切点,所以f′(6)=,因此切线方程为y-4=(x-6),即x-2y+2=0.(2)令f(x)=0,则x=2,即点C(2,0).在x-2y+2=0中,令y=0,则x=-2,所以点B(-2,0).故S=dx-dx=-(4x-8=.5.(13分)(2018·天水模拟)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确定t的值,使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小,并求最小值.【解析】面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积,即S1=t·t2-x2dx=t3.S2的面积等于曲线y=x2与x轴,x=t,x=1围成的面积去掉矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,即S2=x2dx-t2(1-t)=t3-t2+.所以阴影部分面积S=S1+S2=t3-t2+(0≤t≤1).令S′(t)=4t2-2t=4t=0时,得t=0或t=.当t=0时,S=;当t=时,S=;当t=1时,S=.所以当t=时,S最小,且最小值为.
