2.1.4 函数的奇偶性一．学习要点：函数的奇偶性的定义、性质及其简单应用二．学习过程：引例：已知函数，，则有 ， 讨论与、与的关系。1. 函数奇偶性的定义：奇函数：设函数的定义 域为，如果对内的任意一个，都有，且，则 这个函数叫做奇函数。偶函数：设函数的定义域为，如果 对内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数。非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶函数的函数叫做非奇非偶函数。奇偶性：如果一个函数在其定义域上是奇函数或是偶函数，则称函数具有奇偶性。注意：（1） “对任意，都有”，说明函数的定义域关于原点对称，这是函数具有 奇偶性的必要条件。否则，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就不具有奇偶性；（2）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数也未必具 有 奇 偶 性 ， 还 需 判 断是 否 等 于， 或 判 断是否等于零，或判断是否等于等等。（3） 从函数奇偶性的角度，可将函数分为奇函 数、偶函数、非奇非偶函数以及既是奇函数又是偶函数；2 函数奇偶性的性质：（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图 像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称的中心对称图形，则这个函数是奇函数。（2）如果一个函数是偶函数，则它的图像是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数。注意：（1） 若奇函数在处有定义，则；（ 2 ） 既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 的 函 数 图 象 在轴 上 。 如是既奇又偶函数；（3） 从区间看：函数的奇偶性是“整体”性质，单调性是“局部”性质。从图像看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性。例 1 判断下列函数是否具有奇偶性：（1）； （2）；（3）； （4）．例 2 判断下列函数是否具有奇偶性： （ 1 ）； （ 2 ）； （ 3 ）； （ 4）．3. 判断奇偶性的方法： 定义 法：第一步，考查 函数的 定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不是关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。第二步，若关于原点对称，再考查与关系。若，则 为奇函数；若，则为偶函数。 图像法：图像关于原点对称奇函数； 图像关于轴对称偶函数。 性质法：偶＋偶＝偶；偶－偶＝偶；偶×偶＝偶；偶÷偶＝偶；奇＋奇＝奇；奇－奇＝奇；奇×奇＝偶...
