点的轨迹的探求(圆锥曲线复习课 4)一．课题：点的轨迹的探求(圆锥曲线复习课 4)二．教学目标：使学生明确探求点的轨迹的思维出发点，初步理清解决这类问题的思路，能够准确地把握这类问题.三．教学重、难点：理清点的轨迹问题的思路.四．教学过程：（一）引入：求曲线的方程、通过方程研究曲线是解析几何的两大主要内容。前面我们已经简单地接触到了一些求点的轨迹的问题，今天我们将对这个问题进行更加深入的研究.（二）问题分析：问题 1．如图， 是定圆内的一个定点， 是圆上的动点，考察线段的垂直平分线与半径的交点的轨迹.【分析】：注意到是垂直平分线，∴， ∴（是圆的半径），是定值，又 点在圆内，∴，∴点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆。若要进一步求轨迹方程，则以中点为原点，所在直线为轴建立坐标系，设，，∴，所以，点的轨迹方程为．说明：本题所用的求轨迹的方法即为“定义法”.问题 2．探求点的轨迹。（学生猜想，几何画板演示）【解法 1】： ，是定值，∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因此，点轨迹方程是．【解法 2】：点的运动是由点引起的，点是控制点运动的主动点。而点在已知圆上运动，其方程是已知的。如果能够找出点与点的坐标之间的关系，然后再求出点的轨迹方程就不难了。设点，，则，，又 点的坐标满足圆的方程，∴，EDABC∴点的轨迹方程是．问题 3．将“是中点”改为“是线段的三等分点”，再探求点的轨迹.【解法 1】：过作的平行线，交于，则，当在上的位置确定后，是定值，∴FH 就是定值。因此，点轨迹是以为圆心，半径为的圆。【解法 2】：设，， 分的比为， ，∴，又 点坐标满足圆的方程，∴有，即表示以为圆心，半径为的圆。拓展：若是线段上的任意一点呢？【解法 1】：与“问题 3”类似。【解法 2】：设，，及分的比为， ，∴，又 点坐标满足圆的方程，∴有，即表示圆心为，半径为的圆。问题 4．线段上所有点的轨迹可组成什么样的图形？（先由学生猜测，再借助于动画演示验证结论，即为已知圆面）〖练习〗：探求线段中点的轨迹，并求出方程。【解法 1】：设，，又 ，，由点坐标满足方程，即．【解法 2】： ，∴， ，∴，是定值，所以，点轨迹是以为焦点的椭圆。〖思考〗：问题 1 中，如果将点拖到圆的外面，此时线段与中垂线没有交点，如果设延长线交中垂线于点，这时，的轨迹又怎样？（答案：是一组双曲线）小结：通过这节课的几个轨迹的探求，我们可以体会到探求点的...
