高三数学（理）一轮复习 教案 第六编 数列总第 30 期§6.5 数列的综合应用基础自测1.（2008·山东文，15）已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 .答案 2 0082.设 f(n)=2+24+27+…+23n+1 (n∈N*)，则 f(n)= .答案 (8n+1-1)3.若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列，c,a,b 成等比数列，且 a+3b+c=10，则 a 的值为 .答案 -44.设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列，则公比 q= .答案 -25.某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个 ，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个，…，按此规律，6 小时后细胞存活的个数是 .答案 65例题精讲 例 1 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1).(1)求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T3=15，又 a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求 Tn.解 （1）由 an+1=2Sn+1,可得 an=2Sn-1+1 (n≥2),两式相减得 an+1-an=2an,an+1=3an (n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.故{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，∴an=3n-1.（ 2 ） 设 {bn} 的 公 差 为 d, 由 T3=15,b1+b2+b3=15, 可 得 b2=5, 故 可 设 b1=5-d,b3=5+d, 又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得 d1=2,d2=-10. 等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0,∴d=2,b1=3,∴Tn=3n+×2=n2+2n.例 2 已知 f(x)=logax(a＞0 且 a≠1)，设 f(a1),f(a2),…,f(an) (n∈N*)是首项为 4，公差为2 的等差数列.（1）设 a 为常数，求证：{an}成等比数列；（2）若 bn=anf(an),{bn}的前 n 项和是 Sn，当 a=时，求 Sn.（1）证明 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即 logaan=2n+2,可得 an=a2n+2.用心 爱心 专心185∴===a2（n≥2）为定值，∴{an}为等比数列(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当 a=时，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.Sn=2·23+3·24+4·25+…+(n+1)·2n+2 ①2Sn=2·24+3·25+4·26+…+n·2n+2+(n+1)·2n+3 ②①-② 得-Sn=2·23+24+25+…+2n+2-(n+1)·2n+3=16+-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3=-n·2n+3.∴Sn=n·2n+3.例 3 假设某市 2008 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，...
