西华师范大学数形结合思想西华师范大学数学与信息学院 yxh "数形结合"思想是中学数学的一种重要思想,"数形结合法"是中学解题的一个重要方法,它将抽象的代数问题巧妙的通过"图型"联系起来,"见图知义"以几何图形的直观和问题的几何意义来启发、引导读者的思维,从而寻找出解题的捷径,从根本上直观、形象、巧妙地解决问题。本文通过对几种常见题型的讲解,试图使读者能有所悟。 一.参数范围的确定 例：直线与曲线有两个交点,求 b 的取值范围。分析与解:本题的常规思路是：联立直线和曲线方程,在内,方程 思路是十分清晰的,但由于解题过程比较复杂,一般不宜采用。下面介绍一种数形结合的思想来解。根据题意作出图形：(注意同时，可以看作平移而来。由图形可以比较直观的得到 b 的两种临界情况：Ⅰ：直线过点(1,0)时, Ⅱ：直线和曲线(半圆)相切于 c 点,利用点到直线的距离公式得：所以。注意：临界点不能取到。 点评:数形结合方法的应用将本题从抽象的代数问题转化成为几何问题,从而克服了代数方法求解本题的复杂,使抽象问题形象化、具体化、简单化。二.解(根)个数的判定例:试判断,关于 x 的方程 (a>0,a≠1)的解的个数( )。 A 0 B 1 C. 2 D. 4分析与解:求解此类问题的一般思路是：Ⅰ、解出方程后判断（显然对本题不适用）Ⅱ、化简、变形后若是二次型方程可利用判别式与零的大小关系判断等。实际上对于任一关于 x 的方程,判断解的个数,实质是看曲线和 x 轴的交点个数,由此可知：判断 (a>0,a≠1)的解的个数即是两个图形的交点的个数,不妨令,作出草图：www.cwnu.cn1xyuv210X=1X=1xy021uvxyCO(1,0)b 西华师范大学由图易知不论还是, 均有两个交点,即该方程有两个根。所以本题选 C。三.求值域(最值)例:已知两点 A(-2,0)，B(0,2),点Ｃ是圆上的任一点，则三角形 ABC 面积的最小值是（ ）。A. B C D 分析与解:求解此题的常规思想是先建立三角形面积的函数表达式,然后求出最值,但无论使用,还是等其他公式都不便于直接得出三角形面积的表达式。下面我们利用数形结合的思想求解，依据题意作出草图：其中：圆即为：将 AB 视为三角形的底边,顶点在圆上移动,三角形的高可看作 C 到 AB 的距离（本题思想方法的关键）。将 AB 向圆方向平移,知当 AB 与圆第一次相切时,,第二次相切时,计算出第一次相切时直线的方程为：由平行直线间距离公式。点评：数形结合思想的运用使本题不易直接表示出的三角形面积的函数表达式转化为...
