数学简单几何体习题精选精讲人教版

ABCDEA1B1C1简单几何体（1）棱柱——最常见的多面体空间直线与平面的只研究位置关系，没有大小和形状的研究；而具体的几何体除位置关系外，还有大小和形状的区别. 几何体按形状分两大类：一是由平面围成的多面体，如正方体；二是由曲面围成的旋转体，如球.棱柱是常见的多面体，它有两个本质属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行.棱柱在高考中是常考的一种载体，除考查空间线面关系（空间角和距离）外，还有面积、体积计算问题的考查.【例 1】如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E 分别为 BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明：ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线；（Ⅱ）设 AA1＝AC＝AB，求二面角 A1－AD－C1的大小．【解析 1】（Ⅰ）设 O 为 AC 中点，连接 EO，BO，则 EO\s\up( )∥ C1C，又 C1C\s\up( )∥ B1B，所以 EO\s\up( )∥ DB，EOBD 为平行四边形，ED∥OB． AB＝BC，∴BO⊥AC，又平面 ABC⊥平面 ACC1A1，BO  面 ABC，故 BO⊥平面 ACC1A1，∴ED⊥平面 ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED 为异面直线 AC1与 BB1的公垂线． （Ⅱ）连接 A1E，由 AA1＝AC＝AB 可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由 ED⊥平面 ACC1A1和 ED平面 ADC1知平面ADC1⊥平面 A1ACC1，∴A1E⊥平面 ADC1．作 EF⊥AD，垂足为 F，连接 A1F，则 A1F⊥AD，∠A1FE 为二面角 A1－AD－C1的平面角．不妨设 AA1＝2，则 AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．所以二面角 A1－AD－C1为 60°． 【解析 2】（Ⅰ）如图，建立直角坐标系 O－xyz，其中原点 O 为 AC 的中点．设 A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．则 C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ED＝（0，b，0），BB\S\do(1)＝(0，0，2c)．ED·BB\S\do(1)＝0，∴ED⊥BB1．又AC\S\do(1)＝(－2a，0，2c)，ED·AC\S\do(1)＝0，∴ED⊥AC1， 所以 ED 是异面直线 BB1与 AC1的公垂线．（Ⅱ）不妨设 A(1，0，0)，则 B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，BC＝(－1，－1，0)，AB＝(－1，1，0)，AA\S\do(1)＝(0，0，2)，BC·AB＝0，BC·AA\S\do(1)＝0，即 BC⊥AB，BC⊥AA1，又 AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面 A1AD．又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，EC＝(－1，0，－1)，AE＝(－1，0，1)，ED＝(0，1，0)，EC·AE＝0，EC·ED＝0，...