高考达标检测（三十八）双曲线命题3——角度用定义、求方程、研性质一、选择题1．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4.2．椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的公共焦点为F1，F2，若P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－aB．m2－a2C.D.－解析：选B由题意，不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选C双曲线C1：2x2－y2＝1，即－y2＝1，所以左顶点A，渐近线方程y＝±x，过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.解方程组得所以该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S＝|OA|·|y|＝××＝.4．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|＝，则E的离心率为()A．2B.C.D.解析：选C如图，设△PAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|＝|PN|，|AQ|＝|AN|＝，|QF2|＝|MF2|，由双曲线的对称性可得，|AF1|＝|AF2|＝|AQ|＋|QF2|＝＋|QF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝|PA|＋|AF1|－|PM|－|MF2|＝＋|QF2|＋|AN|＋|NP|－|PM|－|MF2|＝2＝2a，解得a＝，又|F1F2|＝6，则c＝3，故离心率e＝＝.5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为()A.B.C.D．2解析：选C将x＝c代入双曲线方程可得|y|＝，因为以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为，又双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，所以＝，化简可得a＝b，则双曲线的离心离为.6．(2018·东北四校联考)已知点F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选A如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，又∠F1F2P＝120°，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos120°＝12c2，所以|PF1|＝2c.由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝2c－2c＝2(－1)c.故双曲线的离心率e＝＝＝.7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若存在最小值为12a，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为()A.B.C.D.解析：选A设|PF1|－|OA|＝m，则＝＝m＋＋6a≥12a，当且仅当m＝3a时取等号，∴|PF1|＝4a，∴4a≥c－a，∴5a≥c，∴25a2≥a2＋b2，∴≤2，设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tanα≤2，∴cosα≥，∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为.8．已知双曲线C：－＝1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°且OQ＝5OP，则双曲线C的离心率为()A．2B.C.D．3解析：选B如图，因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以△QAP为等边三角形．设|AQ|＝2R，因为OQ＝5OP，所以|PQ|＝2R，|OP|＝R.又渐近线方程为y＝x，A(a,0),取PQ的中点M，则|AM|＝，由勾股定理可得(2R)2－R2＝2，所以(ab)2＝3R2(a2＋b2)．①在△OQA中，＝，所以R2＝a2.②联立①②并结合c2＝a2＋b2，可得c2＝b2＝(c2－a2)，即3c2＝7a2，所以e＝＝＝.二、填空题9．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x＝与两条渐近线y＝±x的交点坐标为.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－2,0)，F2(2,0)，故四边形F1PF2Q的面积是|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.答案：210．(2017·山东高考)...
