江苏省2010届高三数学专题教案：位置关系的向量解法典型例题解析 新人教版

位置关系的向量解法典型例题解析类型题一 利用空间向量证明平行问题【例 1】如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N 分别是 C1C、B1C1的中点.求证：MN∥平面 A1BD.证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得M（0，1，21 ），N（21 ，1，1），D（0，0，0），A1（1，0，1）,B（1，1，0），于是 MN =（21 ，0，21 ），1DA =（1，0，1）， DB =（1，1，0）.设平面 A1BD 的法向量是n=（x，y，z）.则 n·1DA =0，且 n· DB =0，得.0,0yxxz取 x=1，得 y=-1，z=-1.∴n=（1，-1，-1）.又 MN ·n=（21 ，0，21 ）·（1，-1，-1）=0，∴ MN⊥n,又 MN 平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD.方法二 MN =NC1-MC1=2111BC -21CC1=21 （11AD-DD1）=211DA ,∴ MN ∥1DA ，又 MN 平面 A1BD.∴MN∥平面 A1BD.类型题二 利用空间向量证明垂直问题【例 2】如图所示,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 ABCD.证明:(1)PA⊥BD;(2)平面 PAD⊥平面 PAB.证明 (1)取 BC 的中点 O, 平面 PBC⊥平面 ABCD,△PBC 为等边三角形,∴PO⊥底面 ABCD.（面面垂直的性质定理）以 BC 的中点 O 为坐标原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,如图所示,建立空间直角坐标系.用心 爱心 专心 不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,PO=3 .∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, 3 ).∴ BD=(-2,-1,0),PA =(1,-2,- 3 ). BD·PA=（-2）×1+(-1)×(-2)+0×(-3 )=0,∴PA⊥ BD,∴PA⊥BD.(2)取 PA 的中点 M,连接 DM,则 M（21 ,-1,23 ）. DM =（23 ,0, 23 ）, PB =(1,0,-3 ),∴ DM · PA =23 ×1+0×(-2)+ 23 ×(-3 )=0,∴DM⊥PA,即 DM⊥PA.又 DM · PB =23 ×1+0×0+23 ×（-3 ）=0，∴DM⊥PB，即 DM⊥PB.又 PA∩PB=P，∴DM⊥平面 PAB， DM 平面 PAD.∴平面 PAD⊥平面 PAB.类型题三 平行与垂直的证明【例 3】如图所示，已知直三棱柱 ABC—A1B1C1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且 AB=AA1，D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点.求证：（1）DE∥平面 ABC；（2）B1F⊥平面 AEF.证明 方法一 如图建立空间直角坐标系 A—xyz，令 AB=AA1=4，则 A（0，0，0）...