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江苏省2010届高三数学专题教案:位置关系的向量解法典型例题解析 新人教版

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位置关系的向量解法典型例题解析类型题一 利用空间向量证明平行问题【例 1】如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M、N 分别是 C1C、B1C1的中点.求证:MN∥平面 A1BD.证明 方法一 如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则可求得M(0,1,21 ),N(21 ,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是 MN =(21 ,0,21 ),1DA =(1,0,1), DB =(1,1,0).设平面 A1BD 的法向量是n=(x,y,z).则 n·1DA =0,且 n· DB =0,得.0,0yxxz取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).又 MN ·n=(21 ,0,21 )·(1,-1,-1)=0,∴ MN⊥n,又 MN 平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.方法二 MN =NC1-MC1=2111BC -21CC1=21 (11AD-DD1)=211DA ,∴ MN ∥1DA ,又 MN 平面 A1BD.∴MN∥平面 A1BD.类型题二 利用空间向量证明垂直问题【例 2】如图所示,已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底面 ABCD.证明:(1)PA⊥BD;(2)平面 PAD⊥平面 PAB.证明 (1)取 BC 的中点 O, 平面 PBC⊥平面 ABCD,△PBC 为等边三角形,∴PO⊥底面 ABCD.(面面垂直的性质定理)以 BC 的中点 O 为坐标原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,如图所示,建立空间直角坐标系.用心 爱心 专心 不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,PO=3 .∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0, 3 ).∴ BD=(-2,-1,0),PA =(1,-2,- 3 ). BD·PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3 )=0,∴PA⊥ BD,∴PA⊥BD.(2)取 PA 的中点 M,连接 DM,则 M(21 ,-1,23 ). DM =(23 ,0, 23 ), PB =(1,0,-3 ),∴ DM · PA =23 ×1+0×(-2)+ 23 ×(-3 )=0,∴DM⊥PA,即 DM⊥PA.又 DM · PB =23 ×1+0×0+23 ×(-3 )=0,∴DM⊥PB,即 DM⊥PB.又 PA∩PB=P,∴DM⊥平面 PAB, DM 平面 PAD.∴平面 PAD⊥平面 PAB.类型题三 平行与垂直的证明【例 3】如图所示,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1,D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点.求证:(1)DE∥平面 ABC;(2)B1F⊥平面 AEF.证明 方法一 如图建立空间直角坐标系 A—xyz,令 AB=AA1=4,则 A(0,0,0)...

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