3.4.1 函数与方程（1）教学目标：1．理解函数的零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系．2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于 0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元二次方程根的分布问题．3．通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．教学重点：函数零点存在性的判断．教学难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用．教学方法：在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务．尝试指导与自主学习相结合．教学过程：一、问题情境1．情境：在第 3.2.1 节中，我们利用对数求出了方程 0.84x＝0.5 的近似解；2．问题：利用函数的图象能求出方程 0.84x＝0.5 的近似解吗？二、学生活动1．如图 1，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交于点(－2，0)，试根据图象填空：（1）k 0，b 0；（2）方程 kx＋b＝0 的解是 ；（3）不等式 kx＋b＜0 的解集 ；1xyO－2图12．如果二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点(－3，0)和(1，0)，且开口方向向下，试画出图象，并根据图象填空：（1）方程 ax2＋bx＋c＝0 的解是 ；（2）不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为 ；ax2＋bx＋c＜0 的解集为 ．三、建构数学1．函数 y＝f (x)零点的定义；2．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)与二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象之间关系：△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0ax2＋bx＋c＝0 的根y＝ax2＋bx＋c 的图象y＝ax2＋bx＋c 的零点3．函数零点存在的条件：函数 y＝f (x)在区间[a，b]上不间断，且 f (a)·f (b)＜0，则函数 y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．四、数学运用例 1 函数 y＝f (x)(xÎ[－5，3])的图象如图所示 ，根据图象，写出函数 f (x)的零点及不等式 f (x)＞0 与 f (x)＜0 的解集．例 2 求证：二次函数 y＝2x2＋3x－7 有两个不同的零点．例 3 判断函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间(2，3)上是否存在零点？例 4 求证：函数 f(x)＝x3＋x2＋1 在区间(－2，－1)上存在零点．练习：（1）函数 f(x)＝2x2－5x＋2 的零点是_______ ．（2）若函数 f(x)＝x2－2ax＋a 没有零点，则实数 a 的取值范围是___________；（3）二次函数 y＝2x2＋px＋15 的一个零点是－3，则另一个零点是 ；2Ox1x2xyO x1＝ x2 xyOxyyxO－5－3－113（4）已知函数 f(x)＝x3－3x＋3 在 R 上有且只有一个零点，且该零点在区间[t，t＋1]上，则实数 t＝___ __ ．五、要点归纳与方法小结1．函数零点的概念、求法．2．函数与方程的相互转化，即转化思想；以及数形结合思想．六、作业课本 P97－习题 2，5．3
