7.2圆锥曲线的标准方程与性质命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cosθ+2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.2.(2016全国Ⅰ·5)已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)答案A解析(定义、公式)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-10,c=,则离心率e=,解得m=2.4.(2016北京·13)双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析 四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴=1,即a=b.又|OB|=2,∴c=2.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.新题演练提能·刷高分1.(2018山东济南一模)已知椭圆C:=1(a>b>0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析 椭圆长轴长为6,焦点恰好将长轴三等分,∴2a=6,a=3,∴6c=6,c=1,b2=a2-1=8,∴椭圆方程为=1,故选B.2.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=(|AC|+|BD|)=4,即M到准线x=-1的距离为4.故选B.3.(2018吉林长春第二次质量监测)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为()A.B.1C.D.答案D解析由=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1面积为|F1F2|×|yA-yB|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.4.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为()A.x2-=1B.x2-y2=1C.x2-=1D.x2-=1答案B解析由点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=a,即M(2a,a),代入双曲线方程得4-=1,即b2=a2. 点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1.5.(2018河北衡水模拟)已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.2C.D.答案D解析由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为,故选D.6.(2018安徽合肥第一次质检)如图,椭圆=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为()A.20B.10C.2D.4答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2⊥x轴,所以Nc,,则H0,.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-,代入椭圆方程得=1,∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c...
