4.2数列解答题命题角度1等差、等比数列的判定与证明高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅲ·17)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求λ.解(1)(等比数列的定义与通项公式)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=,a1≠0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以.因此{an}是首项为,公比为的等比数列,于是an=.(2)由(1)得Sn=1-.由S5=得1-,即.解得λ=-1.2.(2014全国Ⅱ·17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明+…+.解(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.又a1+,所以是首项为,公比为3的等比数列.an+,因此{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以.于是+…+≤1++…+=.所以+…+.新题演练提能·刷高分1.(2018安徽江南十校3月联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.(1)证明原式转化为Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2].注意到S1-1+2=4,所以{Sn-n+2}为首项为4,公比为2的等比数列.(2)解由(1)知:Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=-2n=.2.(2018吉林长春质量监测二)已知数列{an}的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列{bn}的前10项和S10.(1)证明 an=2n-11,∴an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(n∈N*),∴数列{an}为等差数列.(2)解由(1)得bn==|2n-11|,∴当n≤5时,bn=|2n-11|=11-2n;当n≥6时,bn=|2n-11|=2n-11.∴S10=[55-2(1+2+3+4+5)]+[2(6+7+8+9+10)-55]=50.3.(2018福建福州期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1①,2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n②,①-②得-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2×-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.4.(2018广西柳州、南宁第二次联考)设a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.解(1)由题知=2,又 b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4,∴{bn+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得bn+2=4×2n-1,故bn=2n+1-2. an+1-an=bn,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,…,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1,an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2)=2+-2(n-1)=2n+1-2n,即an=2n+1-2n(n≥2).而a1=2=21+1-2×1,∴an=2n+1-2n(n∈N*).命题角度2等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.2.(2018全国Ⅲ·17)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.解(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.3.(2016全国Ⅱ·17)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1000项和.解(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(2)因为bn=所以数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.新题演练提能·刷高分1.(2018北京城六区一模)设等差数列{an}的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6...
