滚动小专题(六) 与三角形有关的计算与证明1．(2025·泉州)如图，△ABC，△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点 E 在 AB 上．求证：△CDA≌△CEB.证明： △ABC，△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴CE＝CD，BC＝AC.∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE.∴∠ECB＝∠DCA.在△CDA 与△CEB 中，∴△CDA≌△CEB.2．(2025·河北)如图，点 B， F，C，E 在直线 l 上(F，C 之间不能直接测量)，点 A，D 在 l 异侧，测得 AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明： BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即 BC＝EF.又 AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE，AC∥DF.理由： △ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.3．(2025·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 BD＝CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.(1)求证：AB＝AC；(2)若 AD＝2，∠DAC＝30°，求 AC 的长．解：(1)证明： AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2) AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在 Rt△ADC 中， ∠DAC＝30°，AD＝2，∴AC＝＝4.4．(2025·北京)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC＝2，求 BN 的长．解：(1)证明：在△CAD 中， M，N 分别是 AC，CD 的中点，∴MN∥AD 且 MN＝AD.在 Rt△ABC 中， M 是 AC 的中点，∴BM＝AC.又 AC＝AD，∴MN＝BM.(2) ∠BAD＝60°且 AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°.由(1)知，BM＝AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°. MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°.∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∴BN2＝BM2＋MN2.而由(1)知，MN＝BM＝AC＝×2＝1，∴BN＝.5．(2025·泰州)如图，△ABC 中，AB＝AC，E 在 BA 的延长线上，AD 平分∠CAE.(1)求证：AD∥BC；(2)过点 C 作 CG⊥AD 于点 F，交 AE 于点 G，若 AF＝4，求 BC 的长．解：(1)证明： AD 平分∠CAE，∴∠DAG＝∠CAG. AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∠CAG＝∠B＋∠ACB，∴∠B＝∠CAG.∴∠B＝∠DAG.∴AD∥BC.(2) CG⊥AD，∴∠AFC＝∠AFG＝90°.在△AFC 和△AFG 中，∴△AFC≌△AFG(ASA)．∴CF＝GF. AD∥BC，∴△AGF∽△BGC.∴GF∶GC＝AF∶BC＝1∶2.∴...
