黑龙江省大庆市林甸县第一中学 2013 年高考数学专题复习 发掘对称性 快速巧求解新人教 A 版数学中存在着大量对称的形与式，不过有些问题中的对称性是比较隐蔽的，在求解相关的问题时，如果能够注意寻觅和发掘或通过变形构造出对称关系，则可以收到事半功倍的效果，达到快速简捷求解的目的。下面举例说明，相信会对同学们有所启迪。例 1 设 A、B 两点是圆心都在直线 3x-2y+5 = 0 上的两个相交圆的交点，并且点 A 的坐标为（-4, 5），求点 B 的坐标。解析 乍一看本题似乎缺少条件，无法求解。如果我们仔细分析就会发现题中隐含的对称性，这样问题便可迅速获解。如图 1，设 B 点的坐标为(x, y)，则由题设可知 AB 垂直于直线 3x-2y+5 = 0。又点 A 的坐标为(-4, 5)，所以直线 AB 的方程为 y-5 =。解方程组 得直线 AB 与直线 3x-2y+5 = 0 的交点坐标为（, ）。由对称性知，（, ）为 AB 的中点，于是可得 B 点的坐标为（, ）。例 2 四边形 ABCD 面积为 S，求证：S≤。解析 三角形面积不大于其任意两边之积的一半，观察不等式的右边可想到，如果能够把 AB、AD（或 BC、CD）调换位置，则结论很容易证明。如图 2，以 BD 的中垂线为轴作△BCD 的对称图形△BC1D，则有：≥。例 3 设有一直角 QOP，试在 OP 边上求一点 A，在 OQ 边上求一点 B，在直角内求一点 C，使 BC + CA 等于定长 L，且使四边形 ACBO 的面积最大。简析 如图 3，显然难于直接确定点的位置，若利用对称性，把四边形ACBO 补成一个八边形，其周长为 4L，是定值。由对称性知，要使四边形 ACBO的面积最大，必须使此八边形面积最大。由命题“周长一定的凸 n 边形中，以正 n 边形的 面积为最大”，可知当八边形为正八边形时，四边形 ACBO 的面积最大。此时点 C 为正八边形的一 个 顶 点 ， 正 八 边 形 的 边 长 为， 易 得 正 八 边 形 外 接 圆 半 径 为 ：，于是据此可确定 A、C、B 的位置。求解过程请同学们完成。例 4 方程组 1①②③解的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 6解析 显然方程组关于 x、y、z 对称，其结果也应关于 x、y、z 对称。若方程组只有一组解。则必有 x = y = z，此时由①有 x = y = z = 2，代入②、③均不成立，故选项 A 错误。若方程组有两组解，则与方程组关于 x、y、z 具有对称性矛盾，故选项 B 错误。若方程组...
