抽象函数问题的处理策略江阴长泾中学 刘云彬 邮编：214411抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1、线性函数型抽象函数f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）例 1、已知函数对任意实数 x，y，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。解：设，则， 当时，，∴， ，∴，即，∴为增函数在条件中，令 y＝－x，则，再令 x＝y＝0，则，∴ ，故，为奇函数，∴ ，又，∴的值域为［－4，2］。例 2、已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当 x>0 时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式的解.分析：先证明函数 f（x）在 R 上是增函数（仿例 1）；再求出 f（1）＝3；最后脱去函数符号.2、二次函数型抽象函数———— 二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数若抽象函数满足，总有，则可用二次函数为模型引出解题思路；例 3、 已知实数集上的函数恒满足,方程=0 有 5 个实根,则这 5 个根之和=_____________分析：因为实数集上的函数恒满足,方程=0 有 5 个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数为模型引出解题思路，即函数的对称轴是，并且函数在，其余的四个实数根关于对称，解：因为实数集上的函数恒满足,方程=0 有 5 个实根，所以函数关于直线对称，所以方程的五个实数根也关于直线对称，其中有一个实数根为 2，其它四个实数根位于直线两侧，关于直线对称，则这 5 个根之和为 103、指数函数型的抽象函数 f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝例 4、设 f (x)是定义在 R 上的偶函数。其图象关于直线 y＝x 对称，对任意 x1，x2，都有 f (x1＋x2)＝f (x1)·f (x2)，且 f ( 1 )＝a＞0． (Ⅰ)求及； (Ⅱ)证明 f (x)是周期函数； 用心 爱心 专心 118 号编辑 1 (Ⅲ)记，求． (Ⅰ)解：可以考虑指数函数的模型指导解题的思路，例如运用函数由知：≥0，x∈[0，1]...
