高数期末考试一、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1. .1. .2. .3. .二、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)4.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小.5. .（A） （B）（C） （D）不可导.6. 若， 其 中在 区 间 上二 阶 可 导 且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得微小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。7.（A） （B）（C） （D）.8.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13.求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题 10 分）14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及 x 轴围成平面图形 D.(1)求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）2. 设 函 数在上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的，.3. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答 一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. . 6..7. . 8..三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。13. 解： ，四、 解答题（本大题 10 分）14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题 10 分）15. 解 ： （ 1 ） 根 据 题 意 ， 先 设 切 点 为， 切 线 方 程 ：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1，则曲线与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得旋转体体积为 V2D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 12 分）16. 证明：故有： 证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即.
