· 高中数学竞赛中常用的思想方法 · 递推方 法 及 苴 一 ’■ 辟 陕西 省西 安市 铁一 中 刘康 宁 通 过 建立 递 推关 系解 决 问 题 的 方 法 称 之 为 递 推 方 法．在某 些与 自然 数有 关 的 问题 解决 过 程 中 ，如果 能根据 题设 条件 建立恰 当的递 推关 系式 ，往 往 能 使 问 题 得到顺 利地 解决 ． 利 用递 推方法 解题 的一 般步 骤是 ： ( 1) 用 a 表 示 所 求 问 题 的个 数 ，并 求 出 初 始 值 al 、a2 等 ； ( 2)建 立 n 与 a 、a 一 等之 间的递 推关 系式 ； ( 3)求 解所 得的递 推数 列 {a }． 递 推方 法 与数学 归纳法 、无 穷 递降 法有 着 密 切 的 关 系 ，主要用 于解决 计 数 问题 ． 例 1(2OO5 年 北 方 数 学奥 林 匹克 邀请 赛试 题 ) 已知 位数 的各位 数字 只能 取集 合 { 1，2 ，3，4，5 } 中的 元 素 ，设 含有数 字 5 且 在 5 的前 面不 含 3 的 位 数 的 个 数 为 厂( ) ．求 厂( )． 讲 解 ：显 然 ，．厂( 1) 一 1． 对 于满 足条 件的 + 1 位数 的个 数 厂( + 1) 的计 算 ，可 分如下 两种情 况 ： 情 形 1 当个位 数 字不 是 5 时 ，则 前 位 数 中一 定 含有数 字 5 ，它 是满足 条件 的一 个 位 数 ，其 个数 为 ．厂( ) ．对 于每一 个这 样 的 位 数 ，从 1，2，3，4 中任 取 一个 放在它 的最 右 端 ，可 得 到 一 个 + 1 位 数．因此 ， 个 位 数字不 是 5 的 + 1 位数 有 4f ( )个 ． 情 形 2 当个 位数 字 是 5 时 ，由于 在 5 的 前 面不 能 含有 3，则 前 位数 的每 一位 数字 均有 4 种取 法．因 此 ，个位 数字 是 5 的 + 1 位数 有 4 个． 于 是 ，得 f ( n+ 1) 一4f ( ) + 4 ( E N ) ． 两边 同 除 以 4 ，得 一 一1． 所以l }是首项和公差均为1的等差数列． I J 说 明 ：本题 在建立 关 于 厂( + 1) 与 厂( ) 的递 推 关 系时 ，按 个 位数 字是 否为 5 划 分 为 两种 情 形 ，利 用 分 类计 数 原理 得到递 推关 系式 ． 例 2(2007 年 四川 省 高 中数 学预 ...
