第2讲导数的简单应用(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号导数的计算及导数的几何意义1,7函数的单调性与导数2,4,8函数的极值、最值与导数3,5,14综合应用6,9,10,11,12,13重点把关1.(2016·广西来宾一模)已知曲线f(x)=ex-ax在点(0,f(0))处的切线方程为3x+y+b=0,则下列不等式恒成立的是(C)(A)f(x)≥2-4ln2(B)f(x)≤2-4ln2(C)f(x)≥4-8ln2(D)f(x)≤4-8ln2解析:f′(x)=ex-a,f′(0)=1-a=-3,a=4,f′(x)>0⇒x>ln4=2ln2,f′(x)<0⇒x<2ln2,f(x)min=4-8ln2,故选C.2.(2016·内蒙古自治区通辽一模)下列函数中,既是奇函数,又在(1,+∞)上递增的是(D)(A)y=x3-6x(B)y=x2-2x(C)y=sinx(D)y=x3-3x解析:A.y=x3-6x,y′=3(x2-2),所以x∈(1,)时,y′<0,即该函数在(1,)上递减,所以该函数在(1,+∞)上不递增,即A错误;B.y=x2-2x的图象不关于原点对称,不是奇函数,所以该选项错误;C.y=sinx在(1,+∞)上没有单调性,所以该选项错误;D.y=x3-3x,(-x)3-3(-x)=-(x3-3x),所以该函数为奇函数;y′=3(x2-1),x>1时,y′>0,所以该函数在(1,+∞)上递增,所以该选项正确.故选D.3.(2016·四川卷,文6)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于(D)(A)-4(B)-2(C)4(D)2解析:由f′(x)=3x2-12>0得函数f(x)的增区间为(-∞,-2),(2,+∞),由f′(x)=3x2-12<0得函数f(x)的减区间为(-2,2),则极小值点为2.故选D.4.(2016·内蒙古自治区兴安盟一模)定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为(A)(A)(0,+∞)(B)(-∞,0)∪(3,+∞)(C)(-∞,0)∪(0,+∞)(D)(3,+∞)解析:设g(x)=exf(x)-ex,x∈R,则g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1],因为f(x)+f′(x)>1,所以f(x)+f′(x)-1>0,所以g′(x)>0,所以y=g(x)在定义域上单调递增,因为exf(x)>ex+3,所以g(x)>3,又因为g(0)=e0f(0)-e0=4-1=3,所以g(x)>g(0),所以x>0,故选A.5.函数f(x)=a+的极大值点x0∈(-1,-),则实数a的取值范围为(A)(A)(0,4)(B)(1,4)(C)(-∞,4)(D)(,4)解析:f′(x)=-=,令f′(x)=0,得ax2-2=0.设g(x)=ax2-2,由题可知y=ax2与y=2的图象存在两个交点(x1,y1),(x2,y2)(x1
0,且-10,令f′(x)>0,得g(x)>0,即-1≤xx2;令f′(x)<0,得g(x)<0,即x10,所以g(-)=a-<0,所以00)是[1,+∞)上的增函数.当实数m取最大值时,若存在点Q,使得过点Q的直线与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面积总相等,则点Q的坐标为(C)(A)(0,-3)(B)(0,3)(C)(0,-2)(D)(0,2)解析:g′(x)=x2+1-,由题意x≥1时,g′(x)=x2+1-≥0恒成立,所以m≤x2(x2+1),而当x≥1时,x2(x2+1)≥1×(1+1)=2,所以m≤2,即m的最大值为2,此时g(x)=x3+x-2+.由于函数h(x)=g(x)+2=x3+x+是奇函数,图象关于点(0,0)对称,所以函数g(x)的图象关于点(0,-2)对称,所以点Q的坐标为(0,-2).7.(教材拓展)(2016·吉林白山二模)曲线f(x)=ex+5sinx在点(0,1)处的切线方程为.解析:因为f′(x)=ex+5cosx,所以f′(0)=6,所以切线方程为y-1=6x,即y=6x+1.答案:y=6x+18.(2016·吉林白山一模)若函数f(x)=--ax在(0,+∞)上递增,则实数a的取值范围为.解析:因为f′(x)=x2+-a≥0,即a≤x2+对x>0恒成立,又x2+≥2,所以a≤2.答案:(-∞,2]9.(2016·黑龙江大庆期末)已知函数f(x)=lnx-x+-1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=-x2+2bx-4,若对任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)f(x)=lnx-x+-1(x>0),f′(x)=--=,由x>0及f′(x)>0得10及f′(x)<0得03,故函数f(x)的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是(0,1),(3,+∞).(2)若对任意x1∈(0,2),x2∈[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,问题等价于f(x)min≥g(x)max,由(1)可知,在(0,2)上,x=1是函数的极小值点,这个极小值点是唯一的极值点,故也是最小值点,所以f(x)min=f(1)=-;g(x)=-x2+2bx-4,x∈[1,2],当b<1时,g(x)max=g(1)=2b-5;当1≤b≤2时,g(x)max=g(b)=b2-4;当b>2时,g(x)max=g(2)=4b-8,问题等价于或或解得b<1或1≤b≤或b∈,即b≤,所以实数b的取值范围是(-∞,].能力提升10.(2016·吉林模拟)已知f(x)=e2x,g(x)=lnx+,对∀a...
