高二数学上 7.4《数学归纳法解题》学案 沪教版

数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在 a、b、c 使得等式 1·22+2·32+…+n(n+1)2=12)1( nn(an2+bn+c).●案例探究［例 1］试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n＞1,n∈N*且 a、b、c 互不相等时，均有：an+cn＞2bn.命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0 恒成立(a、b、c 为正数)，从而 ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.证明：(1)设 a、b、c 为等比数列，a= qb ,c=bq(q＞0 且 q≠1)∴an+cn=nnqb+bnqn=bn(nq1 +qn)＞2bn(2)设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想2nnca ＞(2ca )n(n≥2 且 n∈N*)下面用数学归纳法证明：① 当 n=2 时，由 2(a2+c2)＞(a+c)2，∴222)2(2caca② 设 n=k 时成立，即,)2(2kkkcaca则当 n=k+1 时，41211kkca (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞41 (ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=41 (ak+ck)(a+c)＞(2ca )k·(2ca )=(2ca )k+1［例 2］在数列{an}中，a1=1，当 n≥2 时，an,Sn,Sn－21 成等比数列.(1)求 a2,a3,a4，并推出 an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{an}所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=－321k应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{nS1 }是以{11S}为首项，21 为公差的等差数列，进而求得通项用心 爱心 专心公式.解： an,Sn,Sn－21 成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－21 )(n≥2) (*)(1)由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－32由 a1=1，a2=－32 ,S3=31 +a3代入(*)式得：a3=－152同理可得：a4=－352 ,由此可推出：an=)1( )12)(32(2)1( 1nnnn(2)① 当 n=1,2,3,4 时，由(*)知猜想成立.② 假设 n=k(k≥2)时，ak=－)12)(32(2kk成立故 Sk2=－)12)(32(2kk·(Sk－ 21 )∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0∴Sk=321,121kSkk (舍)由 Sk+...