专题 07 空间向量与立体几何一、学习目标：1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。二、知识梳理1.设111,,ax y z，222,,bxyz，（1）111,,axyz． （2）12121 2a bx xy yz z ．（3）若a、b为非零向量，则12121 200aba bx xy yz z ．（4）若0b ，则121212//,,ababxxyyzz．（5）222111aa axyz ．（6）12121 2222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz ．（7）111,,x y z，222,,xyz ，则222212121dxxyyzz �．2、设异面直线a ，b 的夹角为 ，方向向量为a，b，其夹角为 ，则有coscosa ba b．3、设直线 l 的方向向量为 l，平面 的法向量为 n， l 与 所成的角为 ， l与 n的夹角为 ，则有sincosl nl n ．4、设1n�， 2n�是二面角l的两个面 ， 的法向量，则向量1n�， 2n�的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角为 ，则1212cosn nn n��．5、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 �的模 �计算．6、在直线l 上找一点 ，过定点 且垂直于直线l 的向量为n，则定点 到直线l 的距离为cos,ndnn ��．7、点 是平面 外一点， 是平面 内的一定点， n为平面 的一个法向量，则点 到平面 的距离为cos,ndnn ��．三、典型例题 例 1.给出下列命题：① 若AB＝CD，则必有 A 与 C 重合，B 与 D 重合，AB 与 CD 为同一线段；1② 若 a·b＜0，〈a，b〉为钝角；③ 若 a 是直线 l 的方向向量，则 λa(λ∈R)也是 l 的方向向量；④ 非零向量 a，b，c 满足 a 与 b，b 与 c，c 与 a 都是共面向量，则 a，b，c 必共面．其中错误命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D变式练习 1.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则 x＝________，y＝________．【答案】1 【解析】由题知AE＝AA1＋A1E＝AA1...
