高二数学（下）复习讲义（1）线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例 1．正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 为 C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面 A1BD．(2)求 BM 与平面 A1BD 成的角的正切值．解： (1)连 AC， C1C⊥平面 ABCD， ∴C1C⊥BD．又 AC⊥BD， ∴AC1⊥BD．同理 AC1⊥A1B A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面 A1BD．(2)设正方体的棱长为a ，连 AD1，AD1交 A1D 于 E，连结 ME，在△D1AC1中，ME∥AC1， AC1⊥平面 A1BD．∴ME⊥平面 A1BD．连结 BE，则∠MBE 为 BM 与平面 A1BD 成的角．在 Rt MEB中，1322ACMEa，222626BEaaa，∴2tan2MEMBEBE．例 2．如图，把等腰直角三角形 ABC 以斜边 AB 为轴旋转，使 C 点移动的距离等于 AC 时停止，并记为点 P． （1）求证：面 ABP⊥面 ABC；（2）求二面角 C-BP-A 的余弦值．证明（1） 由题设知 AP＝CP＝BP．∴点 P 在面 ABC 的射影 D 应是△ABC 的外心，即 D∈AB． PD⊥AB，PD面 ABP，由面面垂直的判定定理知，面 ABP⊥面 ABC．（2）解法 1 取 PB 中点 E，连结 CE、DE、CD． △BCP 为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED 为二面角 C-BP-A 的平面角．又由（1）知，面 ABP⊥面 ABC，DC⊥AB，AB＝面 ABP∩面 ABC，由面面垂直性质定理，得 DC⊥面 ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE 为直角三角形．设1BC ，则32CE ，12DE ，132cos332DECEDCE．例 3．如图所示，在正三棱柱111ABCA B C中，1EBB，截面1A EC 侧面1AC ．(1)求证...
