专题 14 二项式定理及数学归纳法【2018 年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1) 二项式定理的简单应用，B 级要求；(2)数学归纳法的简单应用，B 级要求【重点、难点剖析】 1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中 C(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第 r＋1 项叫做展开式的通项，用 Tr＋1表示，即 Tr＋1＝Can－rbr；(2)(a＋b)n展开式中二项式系数 C(r＝1,2,3，…，n)的性质：① 与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 C＝C；②C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.2．二项式定理的应用(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”．(2)二项式展开式的通项公式 Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项．3．数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从 n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．4．数学归纳法的应用(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论．(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法．(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由 n＝k 成立，推导 n＝k＋1 成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用．(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把 n＝k＋1 时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．【题型示例】题型一 二项式定理的应用【例 1】【2017 课标 1，理 6】展开式中的系数为A．15B．20C．30D．35【答案】C【变式探究】【2016 年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20C．30 D．60解析 Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第 r＋1 项为 CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得 r＝1，∴x5y2...
