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高考数学“一本”培养专题突破 第3部分 考前增分指导 1 高考四大数学思想回顾学案 文-人教版高三全册数学学案

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一、高考四大数学思想回顾1 函数与方程思想函数思想方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质,使问题得到解决. 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决. 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求解,研究运动中的等量关系.【例 1】 (1)(2018·秦皇岛模拟)定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x),满足 f(x)>f′(x),且 f(0)=1,则不等式<1 的解集为( )A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,2) D.(2,+∞)B [构造函数 g(x)=,则 g′(x)==.由题意得 g′(x)<0 恒成立,所以函数 g(x)=在 R 上单调递减.又 g(0)==1,所以<1,即 g(x)<1,解得 x>0,所以不等式的解集为(0,+∞).故选 B.](2)(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.① 若 a3+b3=5,求{bn}的通项公式;② 若 T3=21,求 S3.[解] ①设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 an=-1+(n-1)·d,bn=qn-1.由 a2+b2=2 得 d+q=3.(*)由 a3+b3=5 得 2d+q2=6.(**)联立(*)和(**)解得(舍去),因此{bn}的通项公式为 bn=2n-1.② 由 b1=1,T3=21 得 q2+q-20=0.解得 q=-5 或 q=4.当 q=-5 时,由(*)得 d=8,则 S3=21.当 q=4 时,由(*)得 d=-1,则 S3=-6.[方法归纳] 函数与方程思想在解题中的应用1.函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.2.数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.3.解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题,一般利用函数思想来解决,思路是先选择恰当的变量建立目标函数,再用函数的知识来解决.4.立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.■对点即时训练·1.(2017·浙江高考)已知 a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位),则 a2...

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