专题 14 导数在函数研究中的应用1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题. 1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断 f(x0)是极值的方法一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时，① 如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；② 如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤① 求 f′(x)；② 求方程 f′(x)＝0 的根；③ 检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：① 求 f(x)在(a，b)内的极值；② 将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1高频考点一 不含参数的函数的单调性例 1、已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－处取得极值.(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)＝f(x)ex，求函数 g(x)的单调减区间.解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，因为 f(x)在 x＝－处取得极值，所以 f′＝0，所以 3a·＋2·＝－＝0，解得 a＝.【方法规律】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数 f(x)的定义域；② 求 f′(x)；③ 解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④ 解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如函数 f(x)...
