数学思想专练(二) 数形结合思想题组 1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4B [ a＞0，∴a2＋1＞1.而 y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与 y＝a2＋1 的图象总有 2 个交点．]2．(2017·兰州模拟)已知函数 f(x)＝则使方程 x＋f(x)＝m 有解的实数 m 的取值范围是( ) A．(1,2) B．(－∞，1]∪[2，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]B [令 F(x)＝x＋f(x)＝则问题转化为方程 F(x)＝m 有解，又函数 F(x)的图象如图所示：由图象可知，函数 y＝F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)，故 m 的取值范围为(－∞，1]∪[2，＋∞)．]3．设函数 f(x)的定义域为 R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数 g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的所有零点的和为( )A．7 B．6 C.3 D．2A [函数 g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的零点为函数 h(x)＝|cos(πx)|与函数 f(x)的交点的横坐标．因为 f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，所以函数 f(x)为关于 x＝1对称的偶函数，又因为当 x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则在平面直角坐标系内画出函数h(x)＝|cos(πx)|与函数 f(x)在内的图象，如图所示，由 图 易 得 两 函 数 图 象 共 有 7 个 交 点 ， 不 妨 设 从 左 到 右 依 次 为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则由图易得 x1＋x2＝0，x3＋x5＝2，x4＝1，x6＋x7＝4，所以 x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝7，即函数 g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的零点的和为 7，故选 A.]4．(2016·合肥二模)若函数 f(x)＝a＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数 a＝________.1 [函数 f(x)＝a＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程 a＋sin x＝0 在[π，2π]上只有一解，即函数 y＝－a 与 y＝sin x，x∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得 a＝1.]5．已知函数 f(x)＝若存在实数 b，使函数 g(x)＝f(x)－b 有两个零点，则 a 的取值范围是________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [函数 g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0 有两个不等实根，则函数 y＝f(x)和 y＝b 的图象有两个公共点．① 若 a＜0，则当 x≤a 时，f(x)＝x3，函数单调递增；当 x＞a 时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 y＝b 可能有两个公共点． ② 若 0≤...
